Физический смысл производной

ГЛАВА 4

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Раздел математики, в котором изучается понятие производной и дифференциала функции, а также способы их применения к исследованию функций, называют дифференциальным исчислением.

Определение производной

К понятию производной приходят при изучении скорости изменения функции.

Пусть функция Физический смысл производной - student2.ru определена и непрерывна на некотором интервале Физический смысл производной - student2.ru .

Проведем следующие операции:

− аргументу Физический смысл производной - student2.ru дадим приращение Физический смысл производной - student2.ru , такое что Физический смысл производной - student2.ru ;

− найдем соответствующее приращение функции:

Физический смысл производной - student2.ru ;

− составим отношение:

Физический смысл производной - student2.ru ;

− найдем предел этого отношения при Физический смысл производной - student2.ru :

Физический смысл производной - student2.ru .

Если этот предел существует, то его называют производной функции Физический смысл производной - student2.ru и обозначают одним из символов: Физический смысл производной - student2.ru , Физический смысл производной - student2.ru , Физический смысл производной - student2.ru , Физический смысл производной - student2.ru , Физический смысл производной - student2.ru .

Определение.

Производной функции Физический смысл производной - student2.ru называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Записывают:

Физический смысл производной - student2.ru или Физический смысл производной - student2.ru .

Производная функции Физический смысл производной - student2.ru есть некоторая функция Физический смысл производной - student2.ru , произведенная из данной функции.

Определение.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Определение.

Функция, имеющая производную в каждой точке интервала Физический смысл производной - student2.ru , называется дифференцируемой на этом интервале.

Примеры

1. Найти производную функции Физический смысл производной - student2.ru .

1) Физический смысл производной - student2.ru ;

2) Физический смысл производной - student2.ru

Физический смысл производной - student2.ru ;

3) Физический смысл производной - student2.ru ;

4) Физический смысл производной - student2.ru ;

Физический смысл производной - student2.ru .

2. Найти производную функции Физический смысл производной - student2.ru .

1) Физический смысл производной - student2.ru ;

2) Физический смысл производной - student2.ru

Физический смысл производной - student2.ru ;

3) Физический смысл производной - student2.ru ;

Физический смысл производной - student2.ru Физический смысл производной - student2.ru ;

Физический смысл производной - student2.ru .

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции Физический смысл производной - student2.ru , непрерывной на интервале Физический смысл производной - student2.ru (рис.4.1). На кривой Физический смысл производной - student2.ru выберем произвольную точку Физический смысл производной - student2.ru . Если аргументу х дать приращение Физический смысл производной - student2.ru , то на графике новому значению аргумента Физический смысл производной - student2.ru будет соответствовать точка Физический смысл производной - student2.ru . Проведем через точки М и Физический смысл производной - student2.ru секущую и пусть φ − угол, который секущая М Физический смысл производной - student2.ru образует с остью Ох.

 
  Физический смысл производной - student2.ru

Рис. 4.1

Из Физический смысл производной - student2.ru получаем

Физический смысл производной - student2.ru .

Пусть Физический смысл производной - student2.ru , тогда точка Физический смысл производной - student2.ru , а секущая М Физический смысл производной - student2.ru будет стремиться занять положение касательной МТ, проходящей через точку М.

Определение.

Касательной к кривой Физический смысл производной - student2.ru в точке М называется прямая МТ, являющаяся предельным положением секущей М Физический смысл производной - student2.ru , при стремлении точки Физический смысл производной - student2.ru к точке М по кривой (или при Физический смысл производной - student2.ru ).

Значит, при Физический смысл производной - student2.ru Физический смысл производной - student2.ru , где Физический смысл производной - student2.ru − угол наклона касательной МТ к оси Ох. Тогда

Физический смысл производной - student2.ru .

Следовательно,

Физический смысл производной - student2.ru .

Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции Физический смысл производной - student2.ru в соответствующей точке, с положительным направлением оси Ох.

Отметим, что понятие производной дает возможность написать уравнение касательной к графику функции.

Уравнение касательной − это уравнение прямой, проходящей через заданную точку: Физический смысл производной - student2.ru , угловой коэффициент которой равен Физический смысл производной - student2.ru .

Следовательно, уравнение касательной будет

Физический смысл производной - student2.ru

или

Физический смысл производной - student2.ru .

Если касательную к кривой в некоторой точке провести невозможно, то это означает, что функция недифферинцируема в этой точке.

Физический смысл производной

Рассмотрим функцию, аргументом которой является время t. Если функция − пройденный путь Физический смысл производной - student2.ru , тогда отношение

Физический смысл производной - student2.ru

представляет собой среднюю скорость движения за промежуток времени Физический смысл производной - student2.ru . Предел этого отношения (производная по определению)

Физический смысл производной - student2.ru

есть скорость движения в момент времени t или мгновенная скорость движения.

В общем случае, если функция Физический смысл производной - student2.ru описывает какой-либо физический процесс, то отношение

Физический смысл производной - student2.ru − средняя скорость изменения у относительно х,

Физический смысл производной - student2.ru − мгновенная скорость изменения у.

Таким образом, производная Физический смысл производной - student2.ru есть скорость протекания процесса.

4.4. Зависимость между непрерывностью
и дифференцируемостью функции

Сформулируем необходимое условие существования производной.

Теорема.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.

Заметим, что обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

Например, функция Физический смысл производной - student2.ru непрерывна при Физический смысл производной - student2.ru , но не дифференцируема для этого значения, так как в точке Физический смысл производной - student2.ru графика функции Физический смысл производной - student2.ru не существует касательной.

Таким образом, непрерывность функции необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции.

Наши рекомендации