Действия над последовательностями
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ
№ 2
Содержание | ||
1. | Числовые последовательности. Примеры…………………………... | |
2. | Действия над последовательностями…………………………......... | |
3. | Ограниченные и монотонные последовательности……………….... | |
4. | Сходящаяся последовательность. Предел последовательности……... | |
5. | Бесконечно малая величина……… | |
6. | Свойства сходящихся последовательностей……………………….... | |
7. | Предельный переход в неравенствах…………………………………. | |
8. | Теоремы существования. Число ……………………………. |
Лекция 2
Вещественная функция натурального аргумента – числовая последовательность. Подпоследовательность. Действия над последовательностями. Ограниченные и монотонные последовательности. Определение предела последовательности. Сходящиеся и фундаментальные последовательности. Теорема Коши.
Числовые последовательности. Примеры
Рассмотрим функции , заданные на множестве натуральных чисел . Такие функции называются функциями натурального аргумента.
Множество значений функции натурального аргумента – называется числовой последовательностью (или последовательностью), а каждое значение этой функций – членом
числовой последовательности. Так как числовая последовательность является конкретным и часто используемым понятием, то удобно для неё использовать иное обозначение, а именно, вместо будем писать : .
Члены числовой последовательности располагаются в порядке возрастания аргумента
,
при этом
– первый член последовательности;
– второй член последовательности;
– третий член последовательности;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– -й или общий член последовательности.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Последовательность коротко можно обозначать .
Последовательность , где произвольное вещественное число, называется стационарной последовательностью или постоянной величиной.
Пусть – произвольная последовательность. Для всякой последовательности натуральных чисел последовательность называется подпоследовательностью последовательности .
Пример 1.1. или .
Пример 1.2. или .
Пример 1.3. или .
Пример 1.4.
или .
Пример 1.5. или .
Действия над последовательностями
Пусть даны последовательности и .
Произведением последовательности
или
на число называется последовательность
или .
Суммой двух последовательностей и называется последовательность
или .
Разностью двух последовательностей и называется последовательность
или .
Произведением двух последовательностей и называется последовательность
или .
Частным двух последовательностей и называется последовательность
или ,
при этом предполагается, что либо все отличны от нуля, либо все отличны от нуля начиная с некоторого номера (в этом случае частное определяется с этого номера).