Задачи для самостоятельного решения. I. Для функции у найти . 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 13) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

I. Для функции у найти .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 13) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 14) .

II. Для указанных ниже функций определить, будет ли функция чётной, нечетной, функцией общего вида.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) .

Ответы:

I. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ;

12) ;

13) ; 14) .

II. 1), 2), 5) – функция общего вида;

3), 6), 7), 10), 11) – функция нечетная;

4), 8), 9) – функция четная.

Занятие 2.

Полярная система координат. Построение графиков функций методом сдвига и растяжения вдоль осей координат.

Основные элементы полярной системы координат – полярная ось и полюс. По отношению к ним определяется положение точки на плоскости. Полярные координаты точки – это пара чисел , где – расстояние от до полюса , а – это угол между полярной осью и . (см. рис.1).

Пусть полярная система координат расположена так, что полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось – с осью ОХ. Пусть точка имеет декартовы координаты и , т.е. , а полярные – и , т.е., с другой стороны, (см. рис.2).

Тогда:

;

Примеры.

1)Даны декартовы координаты точки : . Найти её полярные координаты, т.е. и .

▲ Имеем: , ,

.

2)Даны полярные координаты точки : . Найти её декартовы координаты, т.е. и .

▲ Имеем: ,

.

3)Задать кривые в полярных координатах (при помощи уравнения ).

а) ; б) ; в) .

▲ Подставим в уравнение кривой вместо выражение , а вместо – выражение , и выразим через :

а) ;

б) ;

в) .

Геометрические преобразования графиков функций

Предположим, что построен график функции . Требуется построить на его основе график функции , где – константы. Далее в таблице приведен ряд правил построения таких графиков.

	Преобразование функции	Преобразование графика
1)		График сдвигается вдоль оси на "единиц" вправо, если , и " " единиц влево, если .
2)		График сдвигается вдоль оси на " " единиц вверх, если , и " " единиц вниз, если .
3)		При график растягивается в раз вдоль оси ; при график сжимается в раз вдоль оси .
4)		При график сжимается к оси в раз; при график растягивается от оси в раз.
5)		Сохранить часть графика над осью , а то, что под – отразить симметрично относительно .
6)		Сохранить часть графика при , и, кроме того, эту часть отразить симметрично относительно оси .
7)		График отразить симметрично относительно .
8)		График отразить симметрично относительно .

Замечания.

1)Применяя последовательно эти приемы, можно построить график функции вида ;

2)Период функций , равен .

Примеры.

I. Случаи 1), 2).

а) Рассмотрим функцию . График этой функции можно получить путем сдвига "стандартной" параболы как единого целого на две единицы по оси вправо и на одну единицу по оси вверх (см. рис.3).

б) Рассмотрим функцию . График этой функции можно получить путем сдвига "стандартной" гиперболы по оси влево на одну единицу и по оси вверх на одну единицу (см. рис.4).

II. Случаи 3), 4).

а) Рассмотрим функцию . График этой функции можно получить путем растяжения графика функции вдоль оси в 2 раза. При этом нули обеих функций одинаковы – это точки вида , (см. рис.5).

б) Рассмотрим функцию . График этой функции можно получить из графика путем сжатия его в 2 раза к оси . Период функции равен (см. рис.6).

III. Случаи 5), 6).

Рассмотрим функции и . Их графики можно получить из графика функции по правилам 5) или 6) (см. рис.7 и рис.8).

Рис. 8

IV. Случаи 7), 8).

Рассмотрим функции и . Их графики можно получить из графика функции по правилам 7) и 8), соответственно (см. рис.9 и рис.10).