Задачи для самостоятельного решения. 1. Найти угол между прямой

1. Найти угол между прямой

и плоскостью .

Ответ. .

2. При каком значении прямая параллельна плоскости .

Ответ. .

3. При каких значениях B и D прямая лежит в плоскости ?

Ответ.B=2 и D=8.

4. При каких значениях и прямая перпендикулярна плоскости ?

Ответ. .

5. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

1) ,

2)

3)

Ответ.1) (2; -3; 6); 2) прямая, параллельная плоскости; 3) прямая лежит на плоскости.

6. Найти точку Q, симметричную точке Р (4; 1; 6) относительно прямой

Ответ. Q (2; - 3; 2).

7. Найти точку Q, симметричную точке Р (2; -5; 7) относительно прямой, проходящей через точки М₁(5; 4;6)и

М₂(-2;-17; - 8).

Ответ.Q (4; 1; -3).

8. Найти проекцию точки Р (5; 2; -1) на плоскость

.

Ответ.(1; 4; -7).

9. Найти точку Q, симметричную точке Р (1; 3; -4) относительно плоскости .

Ответ.Q (-5; 1; 0).

10. Вычислить расстояние d от точки Р(2 3;-1) до следующих прямых:

1)

2)

3)

Ответ.1) 21; 2) 6; 3) 15.

11. Убедившись, что прямые

параллельны, вычислить расстояние между ними.

Ответ.25

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1; 2;-3) параллельно прямым

Ответ. .

13. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

1)

.

2) .

Ответ.1) 3; 2) 7.

Занятие 14. Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяют относительно этой системы прямую линию.

Уравнение вида

Ах + Ву + С = 0 (14.1)

называется общим уравнением прямой, здесь какие угодно постояные, причем из постоянных и хотя бы одна отлична от нуля. Эта прямая ортогональна вектору = – нормальному вектору прямой.

В самом деле уравнение (14.1) имеет хотя бы одно решение х₀, у₀, т. е существует точка (х₀,у₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (14.1):

Ах₀ + Ву₀ +С = 0.

Вычитая это уравнение из (5.1), получим уравнение прямой, проходящей через точку

А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0 (14.2)

Это уравнение определяет прямую, проходящую через точку (х₀,у₀) и перпендикулярную вектору =

Если два общих уравнения и определяют одну и ту же прямую, то их коэффициенты пропорциональны .

Общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 называется полным, если все коэффициенты ¹ 0. Если хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным.

С = 0: Ах + Ву = 0 – прямая, проходящая через начало координат.

В = 0: Ах + С = 0 – прямая, перпендикулярная оси х ( = перпендикулярен оси у).

В = 0; С = 0: Ах = 0– ось у (прямая параллельна у и проходит через начало координат).

Полное уравнение прямой может быть приведено куравнению прямой в отрезках

, (14.3)

где = - ; = - .Числа и равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях и у от начала координат, соответственно. Это уравнение удобно для построения прямой на чертеже.

Пример 14.1.Даны вершины треугольника

Составить уравнение высоты AD.

Решение.Так как высота AD перпендикулярна стороне BC , то вектор является вектором нормали для прямой . Тогда общее уравнение прямой имеет вид

или