Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнением с разделяющимися переменными (тип I) называются уравнения вида

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru , Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru , Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru .

Чтобы решить уравнение типа I надо разделить переменные, привести уравнение к виду с разделенными переменными Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru и проинтегрировать почленно.

? ?

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru Как разделять переменные?

Для отыскания решения уравнения Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru или Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru нужно разделить в нем переменные. Для этого

1. заменим Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru ,

2. умножим обе части уравнения Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru ( Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru должны быть только в числителях),

3. разделим обе части уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только x, в другую – только y, т. е. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru ,

4. проинтегрируем обе части.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные x и y, могут быть потеряны решения (особые), обращающие это выражение в нуль.

Пусть дифференциальное уравнение задано в дифференциальной форме (1.4). В частном случае, когда каждая из функций Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru является произведением двух функций, одна из которых – функция только x, а вторая – только y, т. е. когда

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru ,

уравнение примет вид Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru .

Разделение переменных производится делением обеих частей полученного уравнения на произведение Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru , в котором Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru − функция только Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru , являющаяся множителем Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru , а Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru − функция только Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru , являющаяся множителем Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru .

После деления на это произведение уравнение примет вид Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru .

Это уравнение называется уравнением с разделенными переменными: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru находится функция, зависящая только Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru , Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru − только Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru ! !

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru

1.2.2. Однородные дифференциальные уравнения (тип Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru )

Функция Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru называется однородной функцией измеренияk относительно аргументов x и y, если равенство Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru справедливо для любого Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru , при котором функция Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru определена, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru .

Дифференциальное уравнение в нормальной форме Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru называется однородным относительно переменных x и y, если Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru − однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т. е. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru .

Однородное дифференциальное уравнение в нормальной форме всегда можно записать в виде (положив Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru ) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru .

Уравнение в дифференциальной форме Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru называется однородным, если функции Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru − однородные функции одного измерения.

Однородное уравнение с помощью замены Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru и новой функции Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru ? ?

 
  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru

Чтобы решить однородное уравнение, нужно:

1.Ввести подстановку Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru сводится к уравнению типа I.

2. Разделить переменные и проинтегрировать уравнение типа I.

3. Результат интегрирования упростить, пропотенцировать, если нужно, и записать общий интеграл, вернувшись к исходной переменной.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru ! !

Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение называется линейным, если функция, ее производная входят в него в первой степени (линейно): Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru − тип III.

Для решения уравнения типа III применяется метод подстановки

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru − непрерывные функции,

а также метод вариации произвольной постоянной.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru ? ?

Что необходимо для решения линейных уравнений:

Уметь:

1.интегрировать по частям Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru .

2. заменять переменную Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. - student2.ru ,

Наши рекомендации