Упражнения для самостоятельной работы. Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

При решении иррациональных уравнений применяют метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

Следует учесть, что при возведении обеих частей уравнения в чётную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение. Необходимо иметь в виду, что избавиться от иррациональности вида ⁿ

можно возвести в степень n,так как (^{n n}=b. Этим приёмом нельзя избавиться от иррациональности в выражении ⁿ +с.

I. Уравнения, содержащие квадратные корни.

Для решения таких уравнений надо:

1) возвести обе части уравнения в квадрат;

2) упростить полученное уравнение;

3)при необходимости ещё раз возвести в квадрат и т. д. до тех пор, пока не получится уравнение, не содержащее корни.

4) решить это уравнение;

5) сделать проверку или определить область допустимых значений для неизвестного числа; отобрать соответствующие корни (решения)

6) записать ответ.

Пример 1.Решить уравнение =2х-1

Решение.

В левой части уравнения находится только квадратный корень. Возьмём обе части уравнения в квадрат:

( )²=(2х-1)²

х²+5х+1= 4х²-4х+1

3х²-9х=0

Х²-3х=0

х(х-3)=0

х₁=0; х₂=3

Проверка:

х₁=0: =1; 2·0-1=-1; 1≠-1 =>х₁=0 не является корнем уравнения (посторонний корень).

х₂=3: =5; 2·3-1=5; 5=5.

Ответ: х=3.

Пример 2.Решить уравнение

Решение.

² )²

2х-3=х-2

2х-х=3-2

Х=1

Проверка:

Х=1: не существует => х=1-посторонний корень. Поэтому данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 3.Решить уравнение -х=4х-4

Решение.

Оставим в левой части только слагаемое с квадратным корнем

=х+3х-4

=4х-4

²=(4х-4)²

10+х+х²=16х²-32+16

15х²-33х+6=0

Получили квадратное уравнение, решим его.

D=

D=33²- 4·15·6=1089-360=729

Х₁₂

Х₁₂ х₁=2; х_2=0,2

Проверка:

х₁=2: -2 = - 2= 4- 2=2; 3·2-4=2; 2=2

х_{2=0,2: =} -0,2=3,2-0,2=3; 3·0,2-4=0,6-4= -3,4;

3≠-3,4 => [1]х₂=-3,4- посторонний корень.

Ответ: х=2.

Пример 4.Решить уравнение

Решение.

Возьмём обе части уравнения в квадрат:

( )²=(х+3)²

( )² =(х+3)²

(х+6)(13-3х) = (х+3)²

13х-3х²+78-18х=х²+6х+9

4х²+11х-69=0

х₁=3; х₂=

Проверка:

х₁=3: · =3·2=6 3+3=6; 6=6.

х₂= · = -

х₂= - посторонний корень

Ответ: х=3.

Пример 5.Решить уравнение - =2

Решение.

Здесь нельзя избавиться от иррациональности сразу. Возведение обеих частей равенства в квадрат приводит к новому иррациональному уравнению.

( - )² =2²

4х+8-2 · +3х-2=4

7х=2=2 ·

Возводим ещё раз в квадрат:

(7х+2)²=(2 · )²

49Х²+28Х+4=4·(4Х+8)(3Х-2)

49Х²+28Х+4=4·(12х²-8х+24х-16)

х²-36х+68=0

х₁=34; х₂=2

Проверка:

х₁=34: - =

х₂=2: - = .

Ответ: х=34; х₂=2.

Пример 6. Решить уравнение = .

Решение.

( )³ =( )³

2х+7=3х-3

2х-3х=-3-7

-х=-10

х=10

Заметим, что в данном случае проверка необязательна, так как использовался метод возведения обеих частей в нечётную степень, при котором посторонние корни не появляются.

Ответ: х=10.

Пример7.Решить уравнение ⁴ =х

Решение.

(⁴ )⁴ = (х)⁴

25х²-144=х⁴

х⁴-25х²+144=0 - биквадратное уравнение.

Пусть х²=у , тогда у²-25у+144=0

Находим у₁=16; у₂=9. Поэтому: х²=16 => х_1,2=±4 и

х²=9=> х_3,4=±3

Проверка: х₁=4: ⁴ = =4; 4=4.

х₂=-4: ⁴ = =4; 4≠-4=> х₂=-4 - посторонний корень.

х₃=3: ⁴ = =3; 3=3.

х₄=-3 ⁴ = =3; 3≠-3- посторонний корень.

Ответ: х₁=4;х₂=3.

Пример8.Решить уравнение + =12.

Решение.

Пусть = у, тогда = ( )²=у² .

Поэтому у²+у-12=0; у₁=3; у₂=-4

1) =3

2х+1=3⁴

2х+1=81

2х=80

х=40.

2) =-4. Это уравнение не имеет корней, так как

≥0, а число (-4)˂0.

Проверка: х=40: + = + =9+3=12; 12=12.

Ответ: х=40

Пример9.Решить уравнение

Решение.

Область определения уравнения: х≠±13.

Пусть = у, тогда

у≠0.

Поэтому =

3у²-10у+3=0; у₁=3; у₂= . Отсюда:

1) ³;

х+13=27·(х-13);

х+13=27х-351

26х=364

х₁=14;

2)

27·(х+13)=х-13

27х+351=х-13

26х=-364

х₂=-14.

Ответ: х₁=14; х₂=14.·

Упражнения для самостоятельной работы

Решить уравнения:

1. =-х-1;

2. - =0;

3. -х=1;

4. - =х+1;

5. -4=х;

6. + =3;

7. + =

8. х²=

9. + =20;

10. 2 =5· -18=0;

11. +2· =3;

12. =4;

13. - =2- ;

14. =12-

15. - 2 = х.

Ответы:

1.х=-6; 2.х=1;

3. х₁=2, х₂=0; 4. х=1;

5. х₁=-1, х₂= ; 6.х=1;

7. х=-1; 8.х_1,2= , х_3,4= ;

9. х=256; 10. х=-63;

11. ; 12. х=-1;

13. х=7 ; 14. х=68;

15. х=1