Вопрос метод интегрирования по частям для вычисление неопределенного интеграла.

Теорема: u=u(x) – дифференцируемые функции v=v(x), тогда

Доказательство:

(*)

Пример:

32 Вопрос вычисление интегралов вида:

процесс интегрирования продолжается до тех пор, пока не получим формула интегрирования по частям применяется n раз. Пример:

33 Вопрос Вычисление интегралов вида:

интегрирования продолжается до тех пор, пока не получим или формула интегрирования по частям применяется n раз. Пример:

34 Вопрос: Вычисление интегралов вида

интегрирования продолжается до тех пор, пока не получим или формула интегрирования по частям применяется n раз. Пример: 35 Вопрос: Вычисление интегралов вида

Формулы интегрирования по частям применяются n раз пока не получим Пример

36 Вопрос Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определённого интеграла.

Пусть на отрезке [a,b] задана функция y=f(x), необходимо вычислить площадь фигуры под графиком функции на отрезке [a,b].

разобьем отрезок [a,b] на n маленьких отрезков точками (x0,x1,x2…xn, x0=a;xn=b)*.

На каждом отрезке выберем точку: на первом – С1; на 2-ом – С2 и так далее… на последнем Сn. Построим прямоугольники, основание 1-го [x0,x1], а высота f(С1), основание второго отрезок[x1,x2], высота f(C2). Сумма площадей всех прямоугольников будет близка площади фигур под графиком.

Чем больше n, тем точнее будет результат. Определение: Определённым интегралом от функции y=f(x) непрерывны на отрезке [a,b] называется обозначается как . Геометрический смысл определённого интеграла:Если функция y=f(x) не отрицательна на [a,b], то под графиком функции y=f(x) на [a,b]. Примеры:

37 Вопрос: Свойства определённого интеграла:

1) , где а – некоторое число;

2) ;

3) ;

4) ;*

5) ;

Вопрос: Теорема о среднем:

Если функция y=f(x) непрерывна [a,b], то существует число С€[a,b] такое, что . Доказательство:т.к. f непрерывна на [a,b], то она достигает не нём наибольшее и наименьшее значение.

… по свойству (5)

т.к. f(x) непрерывна на [a,b],то она принимает любое значение из отрезка [m,M], в том числе и значение существует точка С€[a,b], такая что что и требовалось доказать.

Вопрос:

Формула Ньютона-Лейбница:

Теорема: Пусть y=f(x) непрерывна на [a,b],F(x) первообразная f(x) – тогда Пример:

40 Вопрос вычисление площадей

плоских фигур (пример).

1 Если функция f(x) неотрицательна на отрезке [a,b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) и прямыми x=a, x=b, y=0 (площадь криволинейной трапеции ABba) равна определенному интегралу от f(x) на данном отрезке: (рис.1)

2 Если функция f(x) неположительна на

отрезке [a,b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) и прямыми x=a, x=b, y=0 (площадь криволинейной трапеции ) равна определенному интегралу от f(x) на данном отрезке, взятому со знаком «минус»: (рис.2)

3 Площадь криволинейной фигуры ABCD,

ограниченной кривыми у = f(x), y=g(x) и прямыми x=a, x=b, определяется формулой: . (рис.3)

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью OY и линиями y=8, y= .

Из уравнения y= находим . Приделы интегрирования , , определенны в результате решения систем уравнений: По формуле 1 получаем

41 Вопрос Приложение определенного интеграла в эконом теории: понятие излишка потребителя (пример).

Q(P) – фун-я спроса

P(Q)– обратная фун-я спроса

Пусть равновесная рыночная цена P*

Q*=Q(P*) – равновесны

объем продаж

Общая сумма потраченная потребителями на приобретение товара это -

Разобьем отрезок об О до Q* на n маленьких отрезков

Получили n порций товара

Предположим что товар поступает на рынок этими маленькими порциями за первую порцию товара потребители готовы заплатить . За вторую порцию товара и т.д.

За последнюю порцию товара . За все n порций потребители готовы были заплатить + +…+ .

С ростом числа порций n получим - общие расходы потребителей при продаже товара бесконечно малыми порциями.

Излишек потребителя - те это разность между гипотетическими расходами которые могли бы быть при продаже товара бесконечно малыми порциями и реальными расходами условного рынка.

42 Вопрос Приложение определенного

интеграла в эконом теории: понятие излишка производителя (пример).

Q(P) – предложение некоего товара

P(Q) – обратная функция предложения

P* - равновесная рын цена

Q* - равновесный объем продаж

Общая выручка производителя

Излишек производителя - это разность между реальным доходом и доходом который мог бы быть если бы спрос на товар предъявлялся бесконечно малыми порциями.

Найти излишек производителя P(Q) - ?

Наши рекомендации