Программа по математике для 1 семестра

1. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение матриц, транспонирование.

2. Определители второго, третьего, n-го порядка. Свойства определителей.

3. Алгебраическое дополнение элемента определителя. Разложение определителя по строке или столбцу.

4. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы. Пример.

5. Ранг матрицы, его свойства, методы вычисления. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Пример.

6. Система линейных уравнений. Матричный вид системы. Решение системы линейных уравнений.

7. Решение невырожденной системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Правило Крамера.

8. Решение системы линейных уравнений методом элементарных преобразований (методом Гаусса).

9. Теорема Кронекера-Капелли. Решение произвольной системы линейных уравнений. Пример.

10. Решение однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Пример.

11. Собственные значения и собственные числа матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

12. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами. Координаты вектора в соответствии с координатами точек начала и конца вектора. Нормирование вектора.

13. Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Угол между векторами. Условие перпендикулярности.

14. Векторное произведение векторов. Условие коллинеарности двух векторов.

15. Смешанное произведение трех векторов. Условие компланарности трех векторов. Базис (i, j, k).

16. Арифметическое n-мерное пространство. Скалярное произведение векторов. Длина вектора.

17. Линейная зависимость системы n-мерных векторов.

18. Размерность пространства. Базис n-мерного пространства. Базис ортогональный, ортонормированный.

19. Координаты точки. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

20. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору нормали.

21. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному направляющему вектору.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки на плоскости. Уравнение прямой в отрезках.

22. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Расстояние от точки до прямой на плоскости. Точка пересечения двух прямых.

23. Кривые второго порядка на плоскости. Окружность, эллипс, гипербола, парабола и их уравнения.

24. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.

25. Задание плоскости тройкой точек. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

26. Общие уравнения прямой в пространстве. Переход от общих к параметрическим уравнениям прямой.

27. Канонические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

28. Канонические уравнения поверхностей второго порядка в пространстве. Поверхности вращения.

29. Предел числовой последовательности, его геометрический смысл.

30. Предел гармонической последовательности. Число e.

31. Функция одной переменной. Основные элементарные функции. Функция чётная; нечётная; периодическая. Сложная функция. Обратная функция.

32. Предел функции в точке.

33. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

34. Предел суммы, произведения, частного двух функций.

35. Вычисление пределов: пределы рациональных выражений, иррациональных выражений. Примеры.

36. Первый и второй замечательные пределы, их применение для вычисления пределов функций. Примеры.

37. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их связь.

38. Односторонние пределы функции в точке.

39. Непрерывность функции в точке.

40. Непрерывность функции в интервале, на отрезке.

41. Классификация точек разрыва функции.

42. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику.

43. Правила дифференцирования. Таблица производных основных элементарных функций.

44. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Примеры.

45. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей различных видов. Примеры.

46. Признак возрастания (убывания) функции на интервале.

47. Необходимое условие экстремума функции. Достаточные условия экстремума функции. Примеры.

48. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. Пример.

49. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба.

50. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построение графика. Пример.

51. Дифференциал функции, его определение и геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

52. Экономический смысл производной. Эластичность.