Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка производная F'(х) равна данной функции.

Определение. Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dх и обозначается символом

Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru .

Согласно определению неопределенного интеграла

Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = F(х) + С, где F'(х) = f(x) и С – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

d Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = f(x)dх.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой этой функции с точностью до произвольной постоянной.

Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = F(х) + С.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. если постоянная k Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru 0, то

Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = k Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru .

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности, т.е.

Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru .

Пример: Для функции у = 3х2- 4 найти первообразную, график которой проходит через точку М (-2; 5).

Решение.

Так как (х3 – 4х)' = 3х2– 4, то функция у = х3 – 4х является первообразной для функции у = 3х2 – 4 на всей числовой оси. Тогда функции вида у = х3 – 4х + С также являются первообразными для данной функции. Выберем из этого семейства ту функцию график которой проходит через точку М (-2; 5). Постоянная С должна удовлетворять уравнению

(-2)3 – 4 ∙ (-2) + С = 5.

Отсюда С = 5. Следовательно, у = х3 – 4х + 5 – искомая первообразная.

Ответ: у = х3 – 4х + 5 – искомая первообразная.

Таблица простейших неопределенных интегралов

Каждое из приведенных ниже равенств рассматривается в области, на которой подынтегральная функция и ее первообразная непрерывны. В правых частях равенств С – произвольная постоянная.

1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru (п Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru -1).   7. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = tg x + C.
2. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = ln |х| + С (х Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru 0).   8. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = - ctg x + C.
3. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = ех + С.   9. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = arcsin x + C.
4. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru + С (а > 0, а Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru 1).   10. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = arctg x + C.
5. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru х dx = sin x + C.   11. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru + C.
6. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru x dx = - cos x + C. 12. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru + C (а Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru 0).

Чтобы найти неопределенный интеграл, достаточно свести его к табличным. Это возможно сделать преобразовав подынтегральное выражение.

Пример: Найти Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru .

Решение.

Применяя свойства неопределенного интеграла, представим данный интеграл в виде суммы табличных интегралов.

Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = 5 Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru – 3 Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru + 2 Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru .

Воспользуемся формулами 1, 2, 6.

Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = 5∙ Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru – 3∙(-cos x) + 2∙ln|x| + C = x5 + 3cos x + 2ln|x| + C.

Основные методы интегрирования

Интегрирование методом разложения

Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью других методов.

Пример 1. Найти Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru dx.

Решение.

Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru dx = Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru – 2 Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru + Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ruПонятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru – 2х + Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru + С.

Таким образом, Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru dx = Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru – 2х + Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru + С.

Пример 2. Найти Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru .

Решение.

Преобразуем числитель дроби, используя основное тригонометрическое тождество sin2x + cos2x = 1.

Тогда

Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru + Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла - student2.ru = = tg x – ctg x + C.

Наши рекомендации