Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла
Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка производная F'(х) равна данной функции.
Определение. Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dх и обозначается символом
.
Согласно определению неопределенного интеграла
= F(х) + С, где F'(х) = f(x) и С – произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
d = f(x)dх.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой этой функции с точностью до произвольной постоянной.
= F(х) + С.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. если постоянная k 0, то
= k .
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности, т.е.
.
Пример: Для функции у = 3х2- 4 найти первообразную, график которой проходит через точку М (-2; 5).
Решение.
Так как (х3 – 4х)' = 3х2– 4, то функция у = х3 – 4х является первообразной для функции у = 3х2 – 4 на всей числовой оси. Тогда функции вида у = х3 – 4х + С также являются первообразными для данной функции. Выберем из этого семейства ту функцию график которой проходит через точку М (-2; 5). Постоянная С должна удовлетворять уравнению
(-2)3 – 4 ∙ (-2) + С = 5.
Отсюда С = 5. Следовательно, у = х3 – 4х + 5 – искомая первообразная.
Ответ: у = х3 – 4х + 5 – искомая первообразная.
Таблица простейших неопределенных интегралов
Каждое из приведенных ниже равенств рассматривается в области, на которой подынтегральная функция и ее первообразная непрерывны. В правых частях равенств С – произвольная постоянная.
1. | (п -1). | 7. | = tg x + C. |
2. | = ln |х| + С (х 0). | 8. | = - ctg x + C. |
3. | = ех + С. | 9. | = arcsin x + C. |
4. | = + С (а > 0, а 1). | 10. | = arctg x + C. |
5. | х dx = sin x + C. | 11. | = + C. |
6. | x dx = - cos x + C. | 12. | + C (а 0). |
Чтобы найти неопределенный интеграл, достаточно свести его к табличным. Это возможно сделать преобразовав подынтегральное выражение.
Пример: Найти .
Решение.
Применяя свойства неопределенного интеграла, представим данный интеграл в виде суммы табличных интегралов.
= 5 – 3 + 2 .
Воспользуемся формулами 1, 2, 6.
= 5∙ – 3∙(-cos x) + 2∙ln|x| + C = x5 + 3cos x + 2ln|x| + C.
Основные методы интегрирования
Интегрирование методом разложения
Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью других методов.
Пример 1. Найти dx.
Решение.
dx = – 2 + = ∙ – 2х + + С.
Таким образом, dx = – 2х + + С.
Пример 2. Найти .
Решение.
Преобразуем числитель дроби, используя основное тригонометрическое тождество sin2x + cos2x = 1.
Тогда
= = = + = = tg x – ctg x + C.