Вопрос метод интегрирования по частям для вычисление неопределенного интеграла.
Теорема: u=u(x) – дифференцируемые функции v=v(x), тогда
Доказательство:
(*)
Пример:
32 Вопрос вычисление интегралов вида:
процесс интегрирования продолжается до тех пор, пока не получим формула интегрирования по частям применяется n раз. Пример:
33 Вопрос Вычисление интегралов вида:
интегрирования продолжается до тех пор, пока не получим или формула интегрирования по частям применяется n раз. Пример:
34 Вопрос: Вычисление интегралов вида
интегрирования продолжается до тех пор, пока не получим или формула интегрирования по частям применяется n раз. Пример: 35 Вопрос: Вычисление интегралов вида
Формулы интегрирования по частям применяются n раз пока не получим Пример
36 Вопрос Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определённого интеграла.
Пусть на отрезке [a,b] задана функция y=f(x), необходимо вычислить площадь фигуры под графиком функции на отрезке [a,b].
разобьем отрезок [a,b] на n маленьких отрезков точками (x0,x1,x2…xn, x0=a;xn=b)*.
На каждом отрезке выберем точку: на первом – С1; на 2-ом – С2 и так далее… на последнем Сn. Построим прямоугольники, основание 1-го [x0,x1], а высота f(С1), основание второго отрезок[x1,x2], высота f(C2). Сумма площадей всех прямоугольников будет близка площади фигур под графиком.
Чем больше n, тем точнее будет результат. Определение: Определённым интегралом от функции y=f(x) непрерывны на отрезке [a,b] называется обозначается как . Геометрический смысл определённого интеграла:Если функция y=f(x) не отрицательна на [a,b], то под графиком функции y=f(x) на [a,b]. Примеры:
37 Вопрос: Свойства определённого интеграла:
1) , где а – некоторое число;
2) ;
3) ;
4) ;*
5) ;
Вопрос: Теорема о среднем:
Если функция y=f(x) непрерывна [a,b], то существует число С€[a,b] такое, что . Доказательство:т.к. f непрерывна на [a,b], то она достигает не нём наибольшее и наименьшее значение.
… по свойству (5)
т.к. f(x) непрерывна на [a,b],то она принимает любое значение из отрезка [m,M], в том числе и значение существует точка С€[a,b], такая что что и требовалось доказать.
Вопрос:
Формула Ньютона-Лейбница:
Теорема: Пусть y=f(x) непрерывна на [a,b],F(x) первообразная f(x) – тогда Пример:
40 Вопрос вычисление площадей
плоских фигур (пример).
1 Если функция f(x) неотрицательна на отрезке [a,b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) и прямыми x=a, x=b, y=0 (площадь криволинейной трапеции ABba) равна определенному интегралу от f(x) на данном отрезке: (рис.1)
2 Если функция f(x) неположительна на
отрезке [a,b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) и прямыми x=a, x=b, y=0 (площадь криволинейной трапеции ) равна определенному интегралу от f(x) на данном отрезке, взятому со знаком «минус»: (рис.2)
3 Площадь криволинейной фигуры ABCD,
ограниченной кривыми у = f(x), y=g(x) и прямыми x=a, x=b, определяется формулой: . (рис.3)
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью OY и линиями y=8, y= .
Из уравнения y= находим . Приделы интегрирования , , определенны в результате решения систем уравнений: По формуле 1 получаем
41 Вопрос Приложение определенного интеграла в эконом теории: понятие излишка потребителя (пример).
Q(P) – фун-я спроса
P(Q)– обратная фун-я спроса
Пусть равновесная рыночная цена P*
Q*=Q(P*) – равновесны
объем продаж
Общая сумма потраченная потребителями на приобретение товара это -
Разобьем отрезок об О до Q* на n маленьких отрезков
Получили n порций товара
Предположим что товар поступает на рынок этими маленькими порциями за первую порцию товара потребители готовы заплатить . За вторую порцию товара и т.д.
За последнюю порцию товара . За все n порций потребители готовы были заплатить + +…+ .
С ростом числа порций n получим - общие расходы потребителей при продаже товара бесконечно малыми порциями.
Излишек потребителя - те это разность между гипотетическими расходами которые могли бы быть при продаже товара бесконечно малыми порциями и реальными расходами условного рынка.
42 Вопрос Приложение определенного
интеграла в эконом теории: понятие излишка производителя (пример).
Q(P) – предложение некоего товара
P(Q) – обратная функция предложения
P* - равновесная рын цена
Q* - равновесный объем продаж
Общая выручка производителя
Излишек производителя - это разность между реальным доходом и доходом который мог бы быть если бы спрос на товар предъявлялся бесконечно малыми порциями.
Найти излишек производителя P(Q) - ?