Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

6. Однородные дифференциальные уравнения.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

ПРИМЕР Частными решениями дифференциального уравнения являются …

Решение:
Можно проверить каждую из данных функций.
1) Подставим в данное уравнение. Получили тождество, и, значит, является решением данного уравнения.
2) Подставим в данное уравнение. Получили тождество, и, значит, является решением данного уравнения.
3) Подставим в данное уравнение.
Тождество не получилось. Значит, не является решением уравнения.
4) Подставим в данное уравнение. Тождество не получилось. Значит, не является решением уравнения.

1.Общим решением дифференциального уравнения является …

2.Частными решениями дифференциального уравнения

являются … ,

2.Общим решением уравнения является …

3.Частными решениями дифференциального уравнения являются …

Не являются
,

4.Частными решениями дифференциального уравнения являются …

,

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Решение:

Пример1: Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

Решение:
Проинтегрируем обе части уравнения: получим: где − любое число.

Пример 2: Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

Решение:
Так как , то получаем уравнение
Данное уравнение равносильно уравнению
Тогда . Получаем
Ответ можно записать так:

1.Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

2.Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

3.Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

4.Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

3.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Квадратное уравнение , из которого определяется число k, называется характеристическим уравнением , для составления характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные и заменить на k и , а функцию y на единицу.   Решим характеристическое уравнение. составим таблицу, использование которой облегчает отыскание общего решения уравнения   .   N общее решение 1 2 3   4   Пример1: Общим решением дифференциального уравнения является … Составим характеристическое уравнение: Его корнями являются Значит, общим решением дифференциального уравнения будет где – любые числа. Пример2: Решить дифференциальное уравнение . Решение. Составим характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения: . Тогда и . Общее решение данного дифференциального уравнения составляем по формуле (2): . Приме3:Составить общее решение дифференциального уравнения Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни , . Тогда согласно формуле (3) получаем общее решение данного дифференциального уравнения .

1.Общим решением дифференциального уравнения является …   2.Общим решением дифференциального уравнения является …   3.Общим решением дифференциального уравнения является … 4.Общим решением дифференциального уравнения является …

4.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Пример1: Общим решением дифференциального уравнения является …

Решение:
Можно три раза проинтегрировать данное уравнение, тогда . Учитывая произвольность , ответ можно записать в виде где – любые числа.

Пример 2: Общим решением дифференциального уравнения является …

Решение:
Можно два раза проинтегрировать данное уравнение, тогда получим:

1.Общим решением дифференциального уравнения является …