Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными - один из наиболее простых, но весьма важных с точки зрения приложений типов дифференциальных уравнений. Для их рассмотрения введем понятие дифференциальных уравнений первого порядка с разделенными переменными

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка с

разделенными переменными называются уравнения вида ,

где и - непрерывные функции.

Для решения этого уравнения его записывают в виде и решают интегральное уравнение .

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида (1), где , , , - известные функции.

Для решения этого уравнения необходимо разделить в нем переменные следующим образом. Разделить обе части уравнения (1) на множитель и, получив уравнение с разделенными переменными

, решить его вышеуказанным способом.

Пример. Решить уравнение .

- общее решение – семейство гипербол.

Замечание. Дифференциальное уравнение, которое зависит только от переменной y: называется автономным или неполным. Они употребляются в практике математического моделирования в экономике, когда переменная x играет роль времени, не входящего в соотношения. В этом случае особый интерес представляют точки равновесия или стационарные точки ( ).

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Дифференциальное уравнение вида , где

, , - известные непрерывные на (а;в) функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Это уравнение можно привести к виду (2) делением на , где . Это уравнение линейно, так как y и в первой степени. Если , то линейное уравнение называется однородным.

Рассмотрим способы решения уравнения (2).

Умножим обе части уравнения (2) на . Получим . Найдем производную функции , то есть = .

Проинтегрируем обе части последнего равенства: - общее решение уравнения (2).

Рассмотрим метод вариации произвольной постоянной на конкретном примере.

Пример. Решить уравнение .

Составим соответствующее однородное уравнение: .

Заменим и разделим переменные . Решение однородного уравнения: , то есть . Где с- постоянная. Общее решение исходного неоднородного уравнения будем искать в виде , где - неизвестная функция. Найдем или .

Подставим выражения для y и в исходное уравнение, тогда

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным соответствующими заменами неизвестных функций . К таковым относится уравнение Бернулли: , где p и g - непрерывные функции, . Для его решения вводят новую функцию и получают линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно функции : (2).

Пример. Если , то, согласно (2), имеем .