Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30)

Дифференциальные уравнения первого порядка можно представить в дифференциальной форме P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (4) равносильное дифференциальному уравнению (3). Если в дифференциальном уравнении (3) функцию Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru допускаем разделение переменных т. е. ее можно представить в виде Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru , то дифференциальное уравнение (3) называется дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющими переменные Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru - дифференциального уравнения с разделенными переменными. Интегрируя и получим общий интеграл: Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru . Замечание: Отдельно исследовать случай f2(y)=0 и если функция определяемая уравнение f2(y)=0 удовлетворяет дифференциальному уравнению и входит в общий интеграл Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru при котором с, то его включают в общий интеграл. Замечание 2: Дифференциальное уравнение (4) может быть дифференцируемым уравнением с разделяющими переменными если в функции P(x,y) и Q(x,y) допускают разделение переменных т. е. P(x,y)=P1(x)P2(y) Q(x,y)=Q1(x)Q2(y) следовательно дифференциальное уравнение (4) принимает вид. P1(x)P2(y)dx+Q1(x)Q2(y)dy=0 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru проинтегрируем Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)

Функция f(x,y) называется однородной функцией относительно переменной x,y n-го порядка если для любого λ, f(λx, λy)= λnf(x,y). Дифференциальное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru называется однородным дифференциальным уравнением если Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru однородная функция нулевого порядка, т. е. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru . Для нахождения решения однородного дифференциального уравнения делают подстановку Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru или Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru отсюда находят Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru и подставляют в дифференциальное уравнение получим: Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru - дифференциальное уравнение с разделяющими переменными. Получаем Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru проинтегрируем пологая что Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru и исследуем отдельно. Примечание: дифференциальное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru является однородным дифференциальным уравнением, если P(x,y) и Q(x,y) однородные функции одного и того же порядка.

3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:

Дифференциальное уравнения первого порядка вида Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru приводятся либо к однородным дифференциальным уравнениям, либо к дифференциальным уравнениям с разделяющими переменными. а. При с=с1=0 это очевидно: Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru . б.Пусть Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru тогда делают подстановку: Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru , где Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru , Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru , t – новая переменная Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru , тогда Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru или Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru , потребуем чтобы Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru эта система линейных уравнений относительно Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru неоднородна, она имеет единственное решение если ее определитель Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru т.е. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru тогда Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru - однородное дифференциальные уравнения относительно функции U находим его общий интеграл Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru , а следовательно находим и решение исходного дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru . с.Пусть Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru т. е. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru или Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru отсюда Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru и следовательно мы можем записать Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru или Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru тогда Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru - дифференциальное уравнение с разделяющимися уравнениями.

Замечание: д.у. вида Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru , где Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30) - student2.ru -непрерывная функция, интегрируется также , как и д.у., рассматриваемое в этом пункте.

Наши рекомендации