Приближенное вычисление определенных интегралов

Пусть требуется найти определенный интеграл где непрерывна на отрезке .

В большинстве случаев решать эту задачу приходится приближенно численными методами, которые основаны на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом. Для достижения необходимой точности вычислений интервал интегрирования делится на более мелкие части и на каждом из этих участков производится соответствующая замена. Тогда весь интеграл представляется в виде линейной комбинации нескольких значений

При фиксированном n

или

(1)

Формулы вида (1) называются квадратурными.

называется остаточным членом.

Значения называются узлами или сеткой, n– число разбиений интервала интегрирования.

Если делится на равные части, то называется шагом сетки.

Приближенное значение интеграла будет зависеть от h, поэтому будем обозначать его J(h).

Функция на участке заменяется многочленом нулевой степени, т. е. постоянной для всех величиной тогда

Геометрически это означает замену графика

на участке прямой .

Интеграл, как площадь криволинейной трапеции, будет приближенно равен площади прямоугольника.

Формула прямоугольников:

. (2)

Остаточный член .

На каждом из участков разбиения заменяется многочленом первой степени. Геометрическая кривая заменяется секущей и интеграл берется приближенно равным площади трапеции с основаниями и высотой

Формула трапеции:

(3)

Остаточный член .

Интервал интегрирования делится на четное число участков, на каждой паре участков с узлами функция заменяется многочленом второй степени, т. е. кривая заменяется квадратичной параболой.

Формула метода Симпсона:

(4)

Остаточный член .

Контрольная работа

Задание №1 Решить уравнение методом половинного деления, хорд с точностью .

Задание №2 Найти решение данной системы. Метод Гаусса.

№ варианта	Коэффициенты при неизвестных	Свободные члены
	0,11270	-2,39990	8,95146	0,75000	8,60527
9,58778	-3,45350	0,24300	1,46840	16,40216
0,86400	4,23700	-2,50200	-1,72927	-15,88846
-0,28427	-4,58674	-1,85970	0,14940	10,90588
	1,11270	-3,02270	-10,91328	1,06140	11,56420
8,40446	-3,45350	0,12430	0,84560	5,25400
-0,33640	5,11230	-1,83880	16,03250	-11,79026
-0,28427	5,85754	-2,48250	-0,16200	-13,67224
	1,42410	-2,71130	9,60540	0,43860	6,30236
0,33853	-5,34326	-2,17110	-0,16200	12,83405
-0,02500	5,11230	-2,46160	-16,71758	-11,58650
8,40446	-2,83070	0,43570	1,15700	15,77090
	0,28640	5,11230	-2,15020	16,60758	-12,52887
0,80130	-2,39990	-8,29752	0,75000	7,078579
8,52378	-2,83070	-0,18710	1,46840	-2,20182
0,33853	4,72046	-1,85970	-0,16200	-11,78629
	0,11270	-2,71130	-9,60540	0,75000	8,93943
-8,99612	-3,45350	0,12430	1,15700	1,07023
0,02500	5,11230	-2,15020	16,03250	-11,77124
-0,28427	5,23474	-2,17110	-0,16200	-12,58937
	0,80130	-2,71130	9,60540	1,06140	6,16237
8,52378	-3,14210	-0,18710	1,15700	16,18665
0,02500	8,00900	-1,83880	-14,66234	-10,15728
0,02713	-5,34326	-2,17110	-0,47340	14,18018
	0,86400	4,80090	-2,46160	16,60758	-12,88453
1,42410	-2,39990	-8,95146	0,43860	6,53240
-10,17944	-3,45350	0,3570	1,46840	-0,61624
-0,28427	5,23474	-1,85970	-0,47340	-12,05482
	0,80130	-3,02270	9,60540	0,75000	5,53137
-0,28427	-5,85754	-2,48250	-0,16200	15,60785
-0,33640	5,11230	-2,15020	-16,71758	-13,11164
8,52378	-3,45350	-0,18710	0,84560	15,88634
	-0,33640	5,42370	-2,46160	-10,08774	-14,95126
1,42410	-3,02270	10,25934	0,43860	4,97590
8,99612	-3,45350	0,43570	8,45600	15,15486
-0,28427	-5,83234	-2,48250	0,14940	13,79060
	8,01300	-2,71130	-8,95146	0,75000	9,11636
0,28427	5,20954	-2,17110	0,14940	-13,29494
0,02300	5,42370	-2,15020	16,71758	-10,78791
-9,11544	-3,45350	-0,18710	1,15700	1,72450

Задание №3 Вычислить определённый интеграл с точностью методом Симпсона.

№	интеграл		№	интеграл
		0,001			0,0001
		0,0001			0,01
		0,01			0,001
		0,001			0,01
		0,0001			0,0001
		0,01			0,01
		0,001			0,0001

Литература

1. Демидович Б.П. Численные методы анализа / Б.П.Демидович, И.А. марон, Э.З. Шувалова. – м.: Наука, 1976. – 368с.

2. Соболь Б.В. Практикум по вычислительной математике / Б.В. Соболь, Б.Ч. Месхи, И.М. Пешхоев. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2008. – 344 с.