Вычисление определенных интегралов

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Постановка задачи, общая характеристика методов

Методы прямоугольников

Данные методы относятся к простейшим из класса методов Ньютона-Котеса. В них подынтегральная функция f(x) на каждом интервале разбиения заменяется полиномом нулевой степени, т.е. константой. Такая замена является неоднозначной, т.к. константу можно выбрать равной значению f(x) в любой точке данного интервала разбиения.

В любом случае значение частичного интеграла определяется как произведение длины интервала разбиения на выбранную константу, т.е. как площадь прямоугольника. В зависимости от способа выбора аппроксимирующей константы различают методы левых, средних или правых прямоугольников (рис.6.4).

Левые

Средние

Правые

Рис.6.4. Геометрическая интерпретация методов прямоугольников

Введем следующие обозначения: точку a на оси OX обозначим через x₀, точку b - через x_n, а точки разбиения промежутка [a,b] - через x₁, x₂,..., x_n-1. Предполагается, что длина интервала разбиения постоянна на всем [a,b]. Обозначим ее через h:

; x_i= x_i-1 + h, i =1,2,...,N.

Тогда в методе левых прямоугольников площадь каждого i-го прямоугольника

Si = h f(xi), i = 0,1,2,...,n-1,

(6.2)

а для всего промежутка [a,b]:

Метод трапеций

В этом методе подынтегральная функция f(x) на интервале [x_i,x_i+1] заменяется полиномом первой степени, т.е. наклонной прямой линией. Обычно эта прямая проводится через значения f(x) на границах интервала (рис.6.6). В этом случае приближенное значение частичного интеграла определяется площадью трапеции:

Рис.6.6. Геометрическая интерпретация метода трапеций

, т.е. , а численное значение интеграла на всем [a,b] . Это вычислительная формула метода трапеций.

(6.12)     (6.13)

Блок-схему алгоритма метода трапеций предлагается студентам разработать самим.

Оценим погрешность R_i. Для этого разложим функцию f(x) в ряд Тейлора около точки x_i :

(6.14)

Тогда

(6.15)

С помощью разложения (6.14) вычислим подынтегральную функцию в точке x_i+h :

откуда

(6.16)

Подставляя произведение (6.16) в выражение (6.15), получим

(6.17)

Сравнивая (6.12) и (6.17), получаем выражение для главного члена погрешности частичного интеграла

.

Тогда главный член полной погрешности метода трапеций имеет вид

,

(6.18)

т.е. метод трапеций имеет также второй порядок, но его погрешность в два раза больше, чем в методе средних прямоугольников, поэтому, если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка использовать метод средних прямоугольников.

М е т о д С и м п с о н а

В этом методе подынтегральная функция заменяется интерполяционным полиномом второй степени - т.е. параболой, проходящей через точки , , , где i = 0,1,2,...,n-2; , т.е.

(6.20)

Поэтому данный метод еще называют методом парабол.

Для записи полинома воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона (см. раздел 5.Аппроксимация зависимостей) для трех узлов (на примере i=0, i+1=1, i+2=2):

(6.21)

где f₀₁, f₀₁₂ - разделенные разности:

;

(6.22)

h - шаг разбиения промежутка интегрирования.

Введем новую переменную z = x - x₀. Тогда x = z + x₀ и полином (6.21) принимает вид:

.

(6.23)

Интеграл от полинома (6.23) с учетом (6.22) имеет вид:

(6.24)

Соотношение (6.24) называют квадратурной формулой Симпсона.

Для всего промежутка интегрирования [ a,b ] при четном значении n количества интервалов его разбиения эта формула имеет вид:

(6.25)

Для удобства программирования эту формулу можно записать так:

,

причем суммирование идет по нечетным значениям i и по четным значениям j.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ