Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , согласно его математическому определению (18), представляет собой сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, образованных по схеме рисунка 5. Для непрерывной подынтегральной функции f(x) и конечных пределов интегрирования a и b этот интеграл, как было показано выше, заведомо существует (представляет собой некоторое число). Но найти его напрямую, следуя указанной на рис. 5 схеме, очевидно, невозможно. По этой схеме его можно найти лишь приближенно.

Для этого промежуток интегрирования [a; b] следует разбить не на бесконечно малые участки dx, которых будет бесконечно много, а на конечное число (скажем, на 100) частичных промежутков одинаковой (или не одинаковой) конечной длины Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Затем на каждом Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru выбрать некоторую точку х (скажем, середину) и подсчитать сумму

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

из уже конечного числа (из 100) слагаемых. Эта сумма будет приближенным значением определенного интеграла Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Если нужно получить более точный результат, то нужно сделать более мелкое разбиение промежутка интегрирования (скажем, разбить его не на 100 частичных промежутков, а на 200, 300, и т. д.). Собственно, таким путем (с некоторыми непринципиальными усовершенствованиями указанной схемы) и вычисляют приближенно определенные интегралы на ЭВМ. ЭВМ умеют, кстати, оценивать точность полученного результата, и при вычислении определенных интегралов за счет своего быстродействия способны достигать любой разумной точности (до нескольких тысяч десятичных знаков после запятой). Но, вычисляя таким путем определенные интегралы, абсолютно точного результата, тем не менее, ЭВМ дать не в состоянии.

И тут возникает вопрос: а нельзя ли все-таки вычислять определенные интегралы абсолютно точно? Ответ на это вопрос такой: можно, хотя далеко и не всегда. Для точного подсчета определенных интегралов, если оно возможно, применяется знаменитая формула Ньютона-Лейбница.

Суть ее в следующем. Пусть f(x) – непрерывная на [a; b] функция, так что Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru заведомо существует. И пусть вычислен неопределенный интеграл от функции f(x):



Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (35)

Тогда точное значение Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru можно найти по формуле:

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (36)

Здесь F(x) – любая первообразная для функции f(x). Формула (36) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница докажем сначала, что функция

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (37)

то есть определенный интеграл с переменным верхним пределом, имеет на [a; b] производную Ф΄(x), совпадающую с f(x) (Ф΄(x) = f(x)).

Действительно,

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (38)

Но

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (39)

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru В последнем интеграле интегрирование происходит на бесконечно малом промежутке [x; x+dx] оси t длиной dx. На нем, при его разбиении на бесконечно малые промежутки dt, уместится лишь один такой промежуток dt = dx
(см.рис.11). Выбирая на нем в качестве произвольно выбираемой точки t точку x и следуя схеме (18) вычисления определенного интеграла, получим по этой схеме лишь одно слагаемое:

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (40)

А значит, согласно (38), получаем:

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (41)

Отметим, что заодно мы доказали следующий принципиальный факт: у любой непрерывной на [a; b] функции f(x) имеется первообразная F(x). Ею, в частности, является функция Ф(х). А значит, для любой непрерывной на [a; b] функции f(x) существует для x Î [a; b] и неопределенный интеграл (35). Хотя, как мы уже замечали, он далеко не всегда может быть выражен через элементарные функции (может оказаться неберущимся). Найдя приближенно (машинным путем) функцию Ф(х), мы тем самым найдем приближенно и Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

А теперь перейдем непосредственно к доказательству формулы Ньютона-Лейбница (36). Пусть F(x) – любая первообразная для функции f(x) на [a; b]. Так как она может отличаться от указанной выше первообразной Ф(х) лишь на константу, то

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (42)

Полагая в этом равенстве х = а, получаем:

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (43)

Значит, равенство (41) принимает вид:

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (44)

А теперь, полагая в (44) х = b, получим:

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (45)

Но это, по сути, это и есть формула (36) Ньютона-Лейбница.

Пример 3. Вычислить Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Решение. Вычислим сначала Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (значит, Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru )

А тогда Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (46)

Геометрическая иллюстрация полученного результата изображена ниже:

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

 
  Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Формула Ньютона-Лейбница (36) принадлежит к числу важнейших формул высшей математики. Она позволяет просто, а главное, точно вычислять определенные интегралы. А значит, позволяет находить точные значения многих нужных для практики величин (площадей криволинейных фигур; помещений тел при переменных скоростях их движения; работ переменных сил и многое другое). Но она может быть использована, если только соответствующий неопределенный интеграл Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru – из берущихся. В противном случае неизвестна первообразная F(x) для функции f(x), а значит, нечего подставлять и в формулу (36) Ньютона-Лейбница.

Если неопределенный интеграл Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru неберущийся, то соответствующий ему определенный интеграл Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru может быть найден лишь приближенно. Например, с помощью ЭВМ – так, как об этом говорилось выше, перед выводом формулы Ньютона-Лейбница.

Упражнения

1. На основании формулы (33) (формулы грубой оценки определенных интегралов) оценить величину следующих интегралов:

а) Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ; б) Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Ответ: а) Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ; б) Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

2. Сравнив подынтегральные функции интегралов Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , выяснить, какой из них больше.

Ответ: Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru > Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

3. Доказать, что Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru заключен между Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

4. Найти площадь S, заключенную между параболой Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и осью ох.

Ответ: Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

5. Найти работу А, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если для ее растяжения на 1 см необходима сила в 20 н.

Указание. При решении задачи использовать закон Гука: величина удлинения пружины пропорциональна растягивающей ее силе.

Ответ: Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

6. Производительность труда z = f(t) среднестатистического рабочего на некотором предприятии представляет собой функцию

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Найти объем q продукции, производимой рабочим за смену (8 часов).

Ответ: Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

7. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Ответ: 0,24.

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Ответ: 0,72.

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Ответ: 3,78.

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Ответ: 0,2.

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Ответ: 0,42.

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Ответ: -6,05.

Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Ответ: 0,59.


Наши рекомендации