Приближенное вычисление несобственных интегралов.

Лекция 7.

ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.

§7.1. Квадратурная формула Ньютона-Котеса.

Если функция непрерывна на отрезке и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции в пределах от до может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

(7.1)

Однако, во многих случаях первообразная не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле (7.1) может быть затруднено или быть практически невыполнимым. Кроме того, подынтегральная функция часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. Поэтому, важное значение приобретают численные методы вычисления определенных интегралов, использующие ряд значений подынтегральной функции в точках , где .

Определение 7.1.

Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного интеграла - механической кубатурой. Соответствующие формулы называются квадратурными и кубатурными формулами.

Рассмотрим один из способов вычисления определенных интегралов.

Если воспользоваться, например, интерполяционным полиномом Лагранжа, то, заменяя функцию полиномом , получим равенство

(7.2)

где - ошибка этой интерполяционной формулы.

Требуется вычислить интеграл , где . Выбрав шаг , разобьем отрезок на равных частей с помощью равноотстоящих точек , , , , . Заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Лагранжа и получим приближенную квадратурную формулу

, (7.3)

где - некоторые постоянные коэффициенты.

Выведем явные выражения для коэффициентов формулы (7.3). Многочлен Лагранжа имеет коэффициенты

.

Введем обозначения и и с учетом этих обозначений многочлен Лагранжа запишем в виде:

. (7.4)

Заменяя в (7.3) функцию полиномом по формуле (7.4), получим:

,

где .

Так как и , то сделав замену переменных в определенном интеграле, будем иметь:

.

Так как , где коэффициенты

(7.5)

называются коэффициентами Котеса, то можно записать следующую квадратурную формулу:

(7.6)

Формула (7.6) называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса.

Нетрудно проверить, что для коэффициентов Котеса справедливы соотношения:

1) ;

2) .

§7.2. Частные случаи квадратурной формулы Ньютона-Котеса.

7.2.1. Формула трапеций.

а) Пусть отрезок достаточно мал. Положим . Тогда по формуле (7.5) при вычислим:

,

,

. (7.7)

Полученная формула (7.7) называется формулой трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла (Рис.7.1).

Погрешность квадратурной формулы (7.7) равна:

, где . (7.8)

Если , то формула (7.7) дает значение интеграла с избытком, если - то с недостатком.

б) Рассмотрим общий случай, когда отрезок произвольной длины.

Разделим отрезок на равных частей , , …, и к каждому из них применим формулу трапеций. Получим:

(7.9)

где .

Формула (7.9) называется общей формулой трапеций. Для нее справедлива оценка погрешности:

, (7.10)

где , , .

7.2.2. Квадратурная формула Симпсона.

а) По формуле (7.5) при вычислим коэффициенты Котеса:

,

,

.

Так как , то квадратурная формула для вычисления интеграла примет вид

. (7.11)

Формула (7.11) называется квадратурной формулой Симпсона. Геометрическая интерпретация формулы состоит в том, что происходит замена данной кривой параболой , проходящей через три точки (Рис.7.2).

Погрешность квадратурной формулы Симпсона равна:

, где . (7.12)

Квадратурная формула Симпсона является точной для полиномов второй и третьей степени.

б) Общая формула Симпсона.

Пусть - четное число, и - значения функции для равноотстоящих точек с шагом , .

Применяя квадратурную формулу Симпсона (7.11) к каждому сдвоенному промежутку , , … длины , будем иметь:

Отсюда получим общую квадратурную формулу Симпсона:

. (7.13)

Остаточный член формулы (7.13) равен:

.

В силу непрерывности на отрезке найдется точка , такая, что

.

Поэтому будем иметь:

, (7.14)

где .

§7.3. Квадратурная формула Гаусса.

Для вывода квадратурной формулы Гаусса потребуются некоторые сведения о полиномах Лежандра.

Определение 7.2.

Полиномы вида

называются полиномами Лежандра.

Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами:

1) ;

2) , где - любой полином степени , меньшей ;

3) полином Лежандра имеет различных и действительных корней, которые расположены на интервале .

Свойство 2 называется свойством ортогональности полиномов Лежандра.

Перейдем к выводу квадратурной формулы Гаусса.

Рассмотрим сначала функцию , заданную на отрезке .

Поставим задачу: как нужно подобрать точки и коэффициенты , чтобы квадратурная формула

(7.15)

была точной для всех полиномов наивысшей возможной степени .

Так как в распоряжении имеется постоянных и , а полином степени определяется коэффициентами, то эта наивысшая степень в общем случае равна .

Для обеспечения равенства (7.15) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при .

Действительно, полагая

(7.16)

и

,

будем иметь:

.

Таким образом, учитывая соотношения:

заключаем, что для решения поставленной задачи достаточно определить и из системы уравнений

(7.17)

Система (7.17) – нелинейная система, состоящая из уравнений с неизвестными и . Решение ее обычным путем представляет большие математические трудности. Поэтому применяют искусственный прием.

Рассмотрим полином

,

где - полином Лежандра.

Так как степени этих полиномов не превышают , то на основании системы (7.17) для них должна быть справедлива формула (7.15):

. (7.18)

С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра выполнены равенства:

, при ,

поэтому в силу (7.18)

(7.19)

Если положить , то соотношения (7.19) будут выполняться при любых значениях .

Таким образом, для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (7.15) в качестве точек достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. В силу свойства 3 эти нули действительны, различны и расположены на интервале . Подставив найденные значения в систему (7.17), которая при этом становится линейной, из первых уравнений можно найти коэффициенты .

Определитель этой подсистемы является определителем Вандермонда

,

и, следовательно, коэффициенты определяются однозначно.

Формула (7.15), где - нули полинома Лежандра и определяются из системы (3), называется квадратурной формулой Гаусса.

Неудобство применения квадратурной формулы Гаусса состоит в том, что абсциссы точек и коэффициенты - вообще говоря, иррациональные числа. Этот недостаток отчасти искупается ее высокой точностью при сравнительно малом числе ординат.

Для вычисления общего интеграла по квадратурной формуле Гаусса делают замену

.

Тогда

, (7.20)

где - нули полинома Лежандра, .

Соотношение (7.20) – квадратурная формула Гаусса для вычисления произвольного интеграла.

Остаточный член квадратурной формулы Гаусса (7.20) с узлами выражается следующим образом:

. (7.21)

Приближенное вычисление несобственных интегралов.

Определение 7.3.

Интеграл

(7.22)

называется собственным, если

1. промежуток интегрирования конечен;

2. подынтегральная функция непрерывна на .

В противном случае, интеграл (7.22) называется несобственным.

а). Рассмотрим приближенное вычисление несобственного интеграла

(7.23)

с бесконечным промежутком интегрирования, где функция непрерывна при .

Определение 7.4.

Интеграл (7.23) называется сходящимся (Рис.7.3), если существует конечный предел

(7.24)

и по определению полагают

(7.25)

Если предел (7.24) не существует, то интеграл (7.23) называется расходящимся, и такой интеграл считается лишенным смысла. Поэтому, прежде чем приступить к вычислению несобственного интеграла, нужно предварительно убедиться, что этот интеграл сходится.

Чтобы вычислить сходящийся несобственный интеграл (7.23) с заданной точностью , представим его в виде

(7.26)

В силу сходимости интеграла число можно выбрать столь большим, чтобы имело место неравенство

(7.27)

Собственный интеграл можно вычислить по одной из квадратурных формул. Пусть - приближенное значение этого интеграла с точностью до , т.е.

. (7.28)

Из формул (7.26)-(7.28) имеем

,

т.е. поставленная задача решена.

б). Допустим теперь, что отрезок конечен, а функция имеет конечное число точек разрыва на . Эти точки назовем «особыми» и обозначим . Такими особыми точками могут быть или один из концов отрезка, или оба конца отрезка, либо одна или несколько точек внутри отрезка.

Так как промежуток интегрирования можно разбить на частичные промежутки с единственной точкой разрыва подынтегральной функции, то достаточно разобрать лишь случай, когда на имеется единственная точка разрыва функции , причем второго рода.

Если есть внутренняя точка отрезка , то по определению полагают:

, (7.29)

и в случае существования этого предела интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично определяется сходимость несобственного интеграла, если точка разрыва подынтегральной функции совпадает с одним из концов промежутка интегрирования .

Для приближенного вычисления с заданной точностью сходящегося несобственного интеграла (7.29), где точка разрыва , выбирают положительные числа и столь малыми, чтобы имело место неравенство:

.

Затем по известным квадратурным формулам вычисляют определенные интегралы , с точностью до . Тогда с точностью , т.е.

.

Если точка разрыва подынтегральной функции является концевой для промежутка интегрирования , то методика вычисления очевидным образом видоизменяется.

§7.5. Кубатурные формулы типа Симпсона.

Рассмотрим один из методов приближенного вычисления двойного интеграла.

Так как двойной интеграл вычисляется через повторный, то при приближенном вычислении двойного интеграла используется квадратурная формула Симпсона.

1) Вычислим , где область – это прямоугольник вида:

.

Каждый отрезок , разобьем пополам точками

где , .

Получим девять точек с координатами (Рис.7.4).

Расписав двойной интеграл через повторный и применив два раза квадратурную формулу Симпсона, получим:

(7.30)

Формула (7.30) называется кубатурной формулой Симпсона.

2) Пусть теперь область представляет собой прямоугольник, стороны которого достаточно велики. Тогда отрезок разобьем на равных частей, отрезок – на равных частей. Выбирая шаги и , делим прямоугольник на четное число прямоугольников (Рис.7.5).

Введем обозначения , , . Применяя кубатурную формулу (7.30) к каждым четырем соседним прямоугольникам, получим:

Приведя подобные, получим:

, (7.31)

где коэффициенты являются соответствующими элементами матрицы

.

3) Если область – произвольная криволинейная область, то строится прямоугольник , содержащий область , причем стороны прямоугольника параллельны осям координат (Рис.7.6).

Рассматривается вспомогательная функция

.

Тогда и, применяя к последнему интегралу общую кубатурную формулу Симпсона (7.31), получим приближенное значение двойного интеграла по произвольной области .