Вычисление определенных интегралов

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Теорема 3. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида , где .

Тогда справедливо следующее равенство

= . (11)

Формула (11) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному. При этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования и по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений и . Часто вместо подстановки применяют подстановку t= (x). В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: .

Пример. Вычислить .

Положим . Тогда и . Если х=0, то , и если х=1, то . Следовательно,

= = - =

= - = - .

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 4. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке[a,b]. Тогда

, (12)

где .

Формула (12) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример. Вычислить .

Пусть u=ln x, dv=(x+1)dx.

Тогда .

По формуле (12) имеем

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [ a, t], т.е. функция определена для произвольного

Несобственным интегралом от функции f(x) на полуинтервале называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к , т.е.

(13)

Если предел, стоящий в правой части равенства (13), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

Пример. Вычислить .

По определению . Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

.

Тогда

= ,

т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1.

По аналогии с (13) определяется несобственный интеграл на полуинтервале :

(14)

Определение сходимости интеграла аналогично приведенному выше.

Введем понятие несобственного интеграла на интервале . Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы и сходятся. Тогда положим, что

= + , (15)

при этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть равенства (15), расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Пример. Вычислить .

Исследуем на сходимость интегралы и .

,

т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но

,

т.е. расходится и, следовательно, расходится несобственный интеграл .

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера-Пуассона.

Доказано, что = .