Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций.
Пределы, производные и приложения производной функций.
А = 0, В = 1, из таблиц находим, что т =1, п =5.
2.1.1 Найти пределы функций:
а) ;
б) ;
в) ;
Производные функций.
2.1.2 Найти производные функций:
а) ;
б) ;
в) ;
д)
Приложения производной.
m=1 n=5
С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции:
Функция определена на
Не периодична. Не является ни четной, ни нечетной.
Пересекается с осью х в одной точке х=1/5, с осью y в точке y=1/25.
Исследуем на непрерывность:
Функция имеет две вертикальные асимптоты x=-5 и x=5.
и
Функция имеет общую горизонтальную асимптоту y=0.
Возьмем производные:
Очевидно, что первая производная отрицательная на всем множестве существования функции. Функция убывает везде, где существует.
. У второй производной есть только один действительный корень, равный .
Для построения графика знаки производных в характерных точках и промежутках сведем в таблицу:
x | (-∞;-5) | -5 | (-5;x3) | x3 | (x3;5) | (5;+ ∞) | |
y | нет | нет | |||||
- | нет | - | - | - | нет | - | |
- | нет | + | - | нет | + | ||
Убывает. выпукла вверх | Верт. ассимпт. | Убывает. выпукла вниз | перегиб | Убывает. выпукла вверх | Верт. ассимпт. | Убывает. выпукла вниз |
Построим график функции:
Функции нескольких переменных
Частные производные и дифференциал функции.
3.1.1 Найти частные производные , и функций:
m=1 n=5
а) ;
б)
3.1.2 Найти полный дифференциал функции .
Приложения частных производных.
3.2.1 Для функции в точке найти градиент и построить вектор градиента. A(-5;1)
Числовые данные параметров т и п в контрольной работе №1 определяются по двум последним цифрам своей зачетки (А — предпоследняя цифра, В — последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п - из таблицы 2. Эти два числа т и п и нужно подставить в условия задач контрольной работы.
Таблица 1 (выбор параметра т)
А | ||||||||||
т |
Таблица 2 (выбор параметра п )
В | ||||||||||
п |
A=0 b=1 -à m=1 n=5
Неопределенный интеграл.
Найти интегралы:
а) б)
в) г) ;
Этот пример лучше решить предварительно решив задачу о нахождении интеграла по частям два раза:
Сначала найдем интеграл:
Теперь найдем второй интеграл:
Теперь найдем наш интеграл (просто подставим a=1 b=1 alpha=5):
Определенный интеграл
Вычислить определенный интеграл
а) ; б) ;
в) ; г)
m=1 n=5
Второе слагаемое равно нулю, так как синус интегрируется на длине периода. Следовательно:
Сначала найдем интеграл:
Теперь найдем наш интеграл:
Несобственные интегралы.
Вычислить интеграл или установить его расходимость:
а ) б)
m=1 n=5
сходится.
0 преподаватель должен более внимательно составлять задание!