Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Частные производные функции

Частные производные функции Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru по аргументам x, y и

Z соответственно определяются как соответствующие пределы ( если они существуют):

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru (6.4.1)

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru (6.4.2)

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru . (6.4.3)

При фиксированных значениях всех аргументов, кроме, например,

Х, функция Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru становится функцией одной переменной. Производная этой функции по переменной х и есть частная производная Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru по аргументу х. Поэтому вычисления частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление производной функции одной переменной.

Дифференциал функции

Пусть функция Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru т.е полное приращение в этой точке можно представить в следующем виде:

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

Дифференциал этой функции вычисляется по формуле

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru . (6.4.4)

Обозначим через Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru .

Координаты некоторой точки М1= Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru , тогда следует

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru .

Алгоритм использования дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть требуется найти приближенное значение величины А, тогда необходимо выполнить следующие действия:

1. Представить А в виде значения некоторой функции в точке М1:

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

2. Подобрать точку М0 так, чтобы она была достаточно близкой к точке M1 и значение Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru вычислялось легко, и вычислить Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

3. Найти Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

4. Вычислить Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru согласно формуле.

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частными производными второго порядка от функции Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Рассмотрим функцию двух переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru , которая имеет частные производные Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru во всех точках области определения D. Частные производные второго порядка в этом случае записываются следующим образом:

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru . (6.4.5)

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru .(6.4.6)

Аналогично определяются и записываются частные производные третьего порядка, например:

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru (6.4.7)

и высших порядков:

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru (6.4.8)

Дифференциалом второго порядка от функции Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru . Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков:

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru или Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru . (6.4.9)

Производные по направлению. Градиент

Пусть функция Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru определена в некоторой окрестности точки М0; Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru -некоторый луч М0М, Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru длина отрезка М0М,

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru -единичный вектор, имеющий направление луча Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru . Предел

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru , если он существует, называется производной функции Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru по напрвлению Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru точке М0 и обозначается Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru В декартовой прямоугольной системе координат Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru ,

где Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru .

Градиентом функции Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru в точке M0 называется вектор, характеризующий направление наибольшего роста функции в этой точке и обозначается Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru . (6.4.10)

Производная функции Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru в точке М0 в направлении вектора Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru и градиент связаны соотношением

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru . (6.4.11)

Пример 6.4.1. Найти дифференциал функции Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru в точке

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

Решение:

Данная функция является сложной Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru где Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru ,

поэтому Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru .

Найдем Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru .

Имеем Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru .

Пример 6.4.2. Найти приближенное значение величины Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

Решение:

Положим Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Выберем

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru тогда Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru = Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru .

Найдем:

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

По формуле находим

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru .

Пример 6.4.3. Найти градиент функции Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru в точке Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru .

Чему равна в этой точке производная функции u в направлении вектора Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru ?

Решение:

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru = Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru .

Исследование функций

На непрерывность

Пример6.5.1.

Найти точки разрыва функции и исследовать их характер:

а) у = 1/(х + 3); б) у =1/(1 + 21/х).

Построить схематично график функций в окрестности точек разрыва.

При решении примеров такого рода следует проверить выполнение условия непрерывности функции в точке

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

а) Функция у = 1/(х + 3) определена при всех значениях х, кроме х = -3. Так как это функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух промежутков: (– Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

Следовательно, единственно возможной точкой разрыва является точка х = – 3. Функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности – функция в ней не определена. Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой функции при стремлении аргумента к точке х = –3.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

Следовательно, при х = –3 функция у = 1/(х + 3) имеет бесконечный разрыв, т.е.

y

-3

x

точка х = –3 есть точка разрыва 2 рода.

б) Рассуждая аналогично, получим, что возможной точкой разрыва функции является х = 0. Найдем односторонние пределы этой функции в точке х = 0:

y

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - student2.ru

x

Таким образом, левый и правый пределы исследуемой функции при х = 0 конечны.

Поэтому х = 0 – точка скачка функции, разрыв I рода.

Наши рекомендации