Дифференциальное исчисление функций

ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Задание 1

Найти и изобразить на рисунке область определения функции z = f(x,y).

Решение

Данная функция определена, если или . Таким образом, область определения функции находится внутри параболы.

Задание 2

Найти точки разрыва функции z = f(x,y).

Решение

Точки разрыва функции будут наблюдаться там, где sin(πx) = 0 и sin(πу) = 0. Решая эти два уравнения, находим: х = у = 1 , 2 , 3 , ... Т.е. х є Z и у є Z.

Ответ: х є Z; у є Z.

Задание 3

Для функции z = f(x,y) найти указанные частные производные

, z''xx- ?, z''xу- ?

Решение

Имеем:

Задание 4

Вычислить значение производной сложной функции u = u(x,y), где x = x(t),

y = y(t), при t = t0с точностью до двух знаков после запятой.

, , , t0= -1.

Решение

Если z = f(х;у) дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

Имеем:

; ; ; .

Таким образом

при t = -1 .

Ответ: .

Задание 5

Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно, в данной точке М0(x0;y0;z0) с точностью до двух знаков после запятой.

, М0(0;1;-1).

Решение

Обозначим , тогда , . Находим:

, , . Тогда , .

В точке М0 значения производных: ,

Ответ: , .

Задание 6

Найти приближенное значение данного выражения с помощью дифференциала.

0,972,02.

Решение

Рассмотрим функцию z = xy. Тогда 0,972,02 = (х + Δх)y+Δy, где х = 1; Δх = -0,03;

у = 2; Δу = 0,02. Воспользуемся формулой:

. Находим

, z'x(1;2) = 2, , z'y(1;2) = 0. Таким образом

.

Ответ:0,94.

Задание 7

Найти grad(z) в точке А и производную функции z = f(x,y) в точке А по направлению вектора .

; A(1;-1);

Решение

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор: . Находим:

; . В точке А(1;-1) , . Таким образом: .

Производная функции z = f(x,y) по направлению вектора имеет вид:

, где cos(α) и cos(β) - направляющие косинусы вектора . Имеем: , . Таким образом, в точке A(1;-1)

.

Ответ: ; .

Задание 8

Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к заданной поверхности S в точке М0(x0;y0;z0).

S: ; М0(1;1;1).

Решение

Запишем данную функцию в виде: . Уравнение касательной плоскости имеет вид:

. Находим:

f(x0;y0) = f(1;1) = 1; ; f'x(1;1) = -1;

; f'z(1;1) = 2,5.

Таким образом или .

Уравнение нормали имеет вид: .

Подставляя найденные ранее значения для частных производных, получаем:

Задание 9

Исследовать на экстремум функцию z = f(x,y).

Решение

Найдем критические точки, для чего сперва найдем частные производные:

; . Решая систему:

находим точку M( ; ).

Найдем производные второго порядка:

; ; . Составим определитель:

.

Поскольку Δ > 0 и , то в точке М функция z = f(x,y) принимает минимальное значение. zmin= z( ; ) = .

Ответ:zmin= z( ; ) = .

Задание 10

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f(x,y) в замкнутой области D. Сделать рисунок области D.

D: , y = 0.

Решение

Изобразим область D.

Наибольшее или наименьшее значение функция z = f(x,y) может принять либо внутри области D, либо на ее границе. Найдем критические точки, для чего сперва найдем частные производные:

; . Решая систему:

находим точку O(0;0). Поскольку данная критическая точка принадлежит границе области, то наибольшее и наименьшее значение функции также ищем на границе области.

На отрезке АC y = 0 и z = x2- 2. z' = 2x. Решая уравнение z' = 0, находим критическую точку: х = 0. О(0;0).

Вдоль параболы АВС , а значит или , . Решая уравнение z' = 0, находим критические точки: , . М( ;-3), N( ; ).

Таким образом, наибольшее и наименьшее значение функции ищем среди значений, которые принимает данная функция z = f(x,y) в точках О(0;0), А(-1;0), М( ;-3) и N( ; ). Находим: z(0;0) = -2; z(-1;0) = z(1;0) = -1;

z(1;0) = -1; z( ;-3) = ; z( ; ) = .

zmin= z( ;-3) = ; zmax= z( ; ) = .

Ответ:zmin= z( ;-3) = ; zmax= z( ; ) = .