Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Рассмотрим набор из p n-мерных векторов, обозначим их следующим образом Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru . Составим линейную комбинацию этих векторов и произвольных чисел Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru (действительных или комплексных): Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru . Отталкиваясь от определения операций над n-мерными векторами, а так же свойств операций сложения векторов и умножения вектора на число, можно утверждать, что записанная линейная комбинация представляет собой некоторый n-мерный вектор Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , то есть, Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru .

Так мы подошли к определению линейной зависимости системы векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru .

Определение.

Если линейная комбинация Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru называется линейно зависимой.

Определение.

Если линейная комбинация Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru равны нулю, то система векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru называется линейно независимой.

К началу страницы

Свойства линейной зависимости и независимости.

На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

1. Если к линейно зависимой системе векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Доказательство.

Так как система векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru линейно зависима, то равенство Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru . Пусть Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , при этом получим систему Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru . Так как Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru и Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , то линейная комбинация векторов этой системы вида
Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru
представляет собой нулевой вектор, а Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

2. Если из линейно независимой системы векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Доказательство.

Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

3. Если в системе векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Доказательство.

Пусть вектор Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru возможно только тогда, когда Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru . Однако, если взять любое Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , отличное от нуля, то равенство Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru все равно будет справедливо, так как Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

4. Если система векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru и при этом верно равенство Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru . Это равенство можно разрешить относительно Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , так как Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , при этом имеем
Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru
Следовательно, вектор Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru линейно выражается через остальные векторы системы Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru линейно независима, то равенство Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru возможно лишь при Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , тогда Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru . Это равенство можно переписать как Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение:
если система векторов содержит векторы Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru и Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , где Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru – произвольное число, то она линейно зависима.

Определение 1. Числовым полем Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru называется множество чисел Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , если Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru числа Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru также принадлежат этому множеству.

Определение 2. Множество Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru называется линейным или векторным пространством над полем Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , если для любых двух его элементов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru и Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru определена сумма Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru и для каждого элемента Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru и каждого числа Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru определено произведение Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru так, что выполнены следующие условия:

1. Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru ;

2. Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru ;

3. существует такой нулевой элемент Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , что Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru ;

4. для каждого элемента Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru существует такой элемент -x (называется противоположным х ), что x + (-х) = 0 ;

5. Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru ;

6. Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru ;

7. Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru ;

8. Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru .

Эти условия в математике называют аксиомами линейного пространства.

Традиционно элементы линейного пространства называют векторами, хотя по своей конкретной природе они могут быть вовсе не похожи на привычные для нас направленные отрезки.

Приведем еще несколько примеров линейных пространств.

1. Множество многочленов степени не выше n с вещественными коэффициентами.

2. Множество свободных векторов в трехмерном пространстве, рассматриваемые в аналитической геометрии. Это пространство обозначается V3.

3. Множество всех матриц размером m x n.

4. n - мерное арифметическое пространство. Это множество всех упорядоченных наборов из n чисел, например х = (х1, х2, ..., хn), у = (у1, у2, ..., уn), для которых определены операции сложения и умножения на число Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru по правилам:

Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru

Определение 3. Набор n чисел х = (х1, х2, ..., хn) называется n - мерным вектором арифметического пространства.

Определение 4. Числа х1, х2, ..., хn, составляющие n -мерный вектор х, называются координатами вектора.

Определение 5. Если координаты всех n - мерных векторов вещественные, то арифметическое пространство называют вещественным и обозначаютRn. Если координаты векторов комплексные, то пространство называют комплексным и обозначают Сn.

Билет 5

Базисом линейного пространства Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru называется система векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru такая, что

1) Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru — система образующих пространства Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru ;

2) Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru — линейно независимая система.

Теорема. Система векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru является базисом линейного пространства Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru тогда и только тогда, когда это максимальная линейно независимая система векторов.

Доказательство. Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru

Пусть Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru — базис Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru . Тогда по определению Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru — линейно независимая система векторов. Любой вектор представим в виде линейной комбинации Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru , т.е. любая большая система векторов линейно зависима, т.е. для векторов Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru

Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru

Значит, базис — максимальная линейно независимая система.

Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru

Пусть Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru — максимальная линейно независимая система. Второе свойство базиса выполняется. Любая большая система векторов линейно зависима:

Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. - student2.ru

т.е. каждый вектор является линейной комбинацией векторов этой системы — выполнено первое свойство.

Наши рекомендации