Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного

4. Контрольная работа «Техника дифференцирования».

Срок проведения – 12 неделя

5. ДЗ №3 «Исследование функций и построение графиков»

Срок выдачи 9 неделя, срок сдачи - 16 неделя

6. Контроль по модулю №2 (РК №2) «Исследование функций и построение графиков»

Срок проведения – 17 неделя

Типовые задачи, используемые при формировании

вариантов текущего контроля

Домашнее задание №1 «Элементарные функции и их графики»

Задача 1. Найти область определения функции Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

Задача 2. Исследовать функцию Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru на четность (нечетность).

Задача 3. Используя элементарные преобразования, построить эскизы графиков следующих функций:

а) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , б), Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru в) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru ,
г) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , д) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

Задача 4. Построить эскиз графика рациональной функции Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , исследуя его расположение относительно оси абсцисс и асимптот.

Задача 5. Используя правила построения графика суммы, произведения, частного или композиции двух функций, построить эскиз графика функции Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

Домашнее задание №2 «Пределы и непрерывность»

Задача 1. Для заданной последовательности Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru и числа Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru доказать, что Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , определив для каждого Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru число Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , такое, что Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru для всех Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru . Заполнить таблицу:

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru 0,1 0,01 0,001
Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru      

Задача 2. Вычислить следующие пределы:

а) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru ; б) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru ; в) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru ;
г) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru ; д) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru ; е) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

Задача 3.

1) Показать, что данные функции f и g являются бесконечно малыми или бесконечно большими при указанном стремлении аргумента.

2) Для каждой функции f и g записать главную часть (эквивалентную ей функцию) вида Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru при Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , или Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru при Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , указать их порядки малости (роста).

3) Сравнить f и g при Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , если Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

Задача 4.Найти точки разрыва функции Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru и определить их характер. Построить фрагменты графика функции в окрестности каждой точки разрыва:

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru

Домашнее задание №3 «Исследование функций и построение графиков»

Задача 1. Исследовать заданные функции и построить их графики:

1) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru ; 2) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru ; 3) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru ; 4) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

Задача 2. Разложить функцию Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru по формуле Маклорена 3-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Задача 3. Из всех равнобедренных треугольников с заданным периметром найти тот, у которого площадь максимальна.

Контрольная работа «Техника дифференцирования»

Задача 1.Для заданных функций найти Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

1. Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru . 2. Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru . 3. Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

4. Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru . 5. Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru . 6. Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru

Задача 2. Найти производную Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru функции Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , заданной параметрически:

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru

Задача 3. Найти производные Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru в точке Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru функции Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , заданной неявно уравнением Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

Задача 4. Составить уравнение касательной и нормали к кривой Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru в точке Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru . Сделать чертеж.

Задача 5. Вывести, исходя из определения, производную функции Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

Замечание: возможно включение теоретических вопросов.

Контроль по модулю №1

Задача 1. Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Доказать теорему о единственности предела сходящейся последовательности.

Задача 2. Сформулировать определение по Коши для предела Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru . Привести соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).

Задача 3. Вычислить пределы:

1) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , 2) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , 3) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , 4) Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

Задача 4. Выясните, является ли функция Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru бесконечно малой при Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru . Если да, найдите значения C и k, для которых Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru при Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru эквивалентна функции Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

Задача 5. Найти точки разрыва функции Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , исследовать их характер, построить график функции в их окрестности.

Контроль по модулю №2

Задача 1. Сформулировать определение дифференцируемости функции в точке. Доказать теорему о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной.

Задача 2. Исследовать функцию Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru и построить ее график.

Задача 3. По графику производной построить график функции (представлен график производной в виде кусочно-линейной функции).

Задача 4. Вычислите предел Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru , используя правило Лопиталя-Бернулли.

Задача 5. Разложите функцию Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru по формуле Тейлора 3-го порядка в окрестности точки Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru . Записать остаточный член в форме а) Пеано, б) Лагранжа.

Задача 6. С помощью формулы Маклорена найти Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного - student2.ru .

Вопросы для подготовки к контролям по модулям и экзамену

Наши рекомендации