Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
4. Контрольная работа «Техника дифференцирования».
Срок проведения – 12 неделя
5. ДЗ №3 «Исследование функций и построение графиков»
Срок выдачи 9 неделя, срок сдачи - 16 неделя
6. Контроль по модулю №2 (РК №2) «Исследование функций и построение графиков»
Срок проведения – 17 неделя
Типовые задачи, используемые при формировании
вариантов текущего контроля
Домашнее задание №1 «Элементарные функции и их графики»
Задача 1. Найти область определения функции .
Задача 2. Исследовать функцию на четность (нечетность).
Задача 3. Используя элементарные преобразования, построить эскизы графиков следующих функций:
а) , б), в) ,
г) , д) .
Задача 4. Построить эскиз графика рациональной функции , исследуя его расположение относительно оси абсцисс и асимптот.
Задача 5. Используя правила построения графика суммы, произведения, частного или композиции двух функций, построить эскиз графика функции .
Домашнее задание №2 «Пределы и непрерывность»
Задача 1. Для заданной последовательности и числа доказать, что , определив для каждого число , такое, что для всех . Заполнить таблицу:
0,1 | 0,01 | 0,001 | |
Задача 2. Вычислить следующие пределы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Задача 3.
1) Показать, что данные функции f и g являются бесконечно малыми или бесконечно большими при указанном стремлении аргумента.
2) Для каждой функции f и g записать главную часть (эквивалентную ей функцию) вида при , или при , указать их порядки малости (роста).
3) Сравнить f и g при , если , .
Задача 4.Найти точки разрыва функции и определить их характер. Построить фрагменты графика функции в окрестности каждой точки разрыва:
Домашнее задание №3 «Исследование функций и построение графиков»
Задача 1. Исследовать заданные функции и построить их графики:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Задача 2. Разложить функцию по формуле Маклорена 3-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.
Задача 3. Из всех равнобедренных треугольников с заданным периметром найти тот, у которого площадь максимальна.
Контрольная работа «Техника дифференцирования»
Задача 1.Для заданных функций найти .
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6.
Задача 2. Найти производную функции , заданной параметрически:
Задача 3. Найти производные , в точке функции , заданной неявно уравнением .
Задача 4. Составить уравнение касательной и нормали к кривой , в точке . Сделать чертеж.
Задача 5. Вывести, исходя из определения, производную функции .
Замечание: возможно включение теоретических вопросов.
Контроль по модулю №1
Задача 1. Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Доказать теорему о единственности предела сходящейся последовательности.
Задача 2. Сформулировать определение по Коши для предела . Привести соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).
Задача 3. Вычислить пределы:
1) , 2) , 3) , 4) .
Задача 4. Выясните, является ли функция бесконечно малой при . Если да, найдите значения C и k, для которых при эквивалентна функции .
Задача 5. Найти точки разрыва функции , исследовать их характер, построить график функции в их окрестности.
Контроль по модулю №2
Задача 1. Сформулировать определение дифференцируемости функции в точке. Доказать теорему о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной.
Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.
Задача 3. По графику производной построить график функции (представлен график производной в виде кусочно-линейной функции).
Задача 4. Вычислите предел , используя правило Лопиталя-Бернулли.
Задача 5. Разложите функцию по формуле Тейлора 3-го порядка в окрестности точки . Записать остаточный член в форме а) Пеано, б) Лагранжа.
Задача 6. С помощью формулы Маклорена найти .
Вопросы для подготовки к контролям по модулям и экзамену