Дифференциальное исчисление функций одной переменной

В г. Апатиты

МАТЕМАТИКА

Методическое пособие для студентов

(заочное отделение)

специальности

071600 «Высоковольтные энергетика и электротехника»

180400 «Электропривод и автоматика промышленных

установок и технологических комплексов»

«Технофизика»

Составитель:

преподаватель кафедры общих дисциплин, доцент,

к.ф.-м.н Дашкевич Ж.В...

Семестр

Математический анализ

Программа курса

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Числовые последовательности.

1. Числовые последовательности и операции над ними, ограниченные и неограниченные последовательности.

2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, основные свойства бесконечно малых последовательностей.

3. Сходящиеся последовательности: предел последовательности, основные свойства сходящихся последовательностей.

4. Монотонные последовательности, число е.

Функции

5. Определение функции. Способы задания функций.

6. Предел функции. Односторонние пределы. Свойства пределов. Два замечательных предела.

7. Непрерывность и разрывы функции.

8. Классификация элементарных функций.

9. Обратные функции.

10. Сложные функции.

Дифференцирование

11. Определение производной. Ее геометрический и физический смысл.

12. Правила дифференцирования.

13. Производные от элементарных функций. Таблица производных.

14. Дифференциал: определение и геометрический смысл, правила вычисления.

15. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

16. Производные высших порядков.

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

17. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

18. Формулы Тейлора и Маклорена.

19. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций, вычисление числа е.

Исследование графика функции

20. Участки монотонности и отыскание точек экстремума функций (необходимое и достаточное условия).

21. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.

22. Асимптоты графика функции.

Рекомендуемая литература

В.А.Ильин, Э.Г.Позняк, Основы математического анализа, М., Наука, Вып. 1 (1967 г), Вып 2 (1980 г.),

В.М.Шипачев, Высшая математика, М., Высшая школа, 1998.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова В.М., Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1,ч.2, М., Высшая школа, 1998.

В.М.Шипачев, Задачник по высшей математике, М., Высшая школа, 1998.

В.П.Минорский, Сборник задач по высшей математике, М., Наука, 1971.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

(номер варианта определяется по последнему номеру зачетной книжки)

Вариант № 1

1. Вычислить предел функции

2. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

3. Вычислить производную
функции

4. Исследовать функцию и построить ее график

Вариант № 2

1. Вычислить предел функции

2. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

3. Вычислить производную
функции

4. Исследовать функцию и построить ее график

Вариант № 3

1. Вычислить предел функции

2. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

3. Вычислить производную
функции

4. Исследовать функцию и построить ее график

Вариант № 4

1. Вычислить предел функции

2. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

3. Вычислить производную
функции

4. Исследовать функцию и построить ее график

Вариант № 5

1. Вычислить предел функции

2. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

3. Вычислить производную
функции

4. Исследовать функцию и построить ее график

Вариант № 6

1. Вычислить предел функции

2. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

3. Вычислить производную
функции

4. Исследовать функцию и построить ее график

5. Найти все частные производные функции

Вариант № 7

1. Вычислить предел функции

2. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

3. Вычислить производную
функции

4. Исследовать функцию и построить ее график

5. Найти все частные производные функции

Вариант № 8

1. Вычислить предел функции

2. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

3. Вычислить производн
ые функций

и

4. Исследовать функцию и построить ее график

Вариант № 9

1. Вычислить предел функции

2. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

3. Вычислить производную
функции

4. Исследовать функцию и построить ее график

Вариант № 10

1. Вычислить предел функции

2. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

3. Вычислить производную
функции

4. Исследовать функцию и построить ее график

Семестр

Математический анализ

Неопределенный интеграл.

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

Основные свойства неопределенного интеграла.

Основные методы интегрирования.

Определенный интеграл.

Определенный интеграл: интегральные суммы, определение и основные свойства.

Формула Ньютона – Лейбница для вычисления определенных интегралов.

Методы вычисления определенных интегралов: замена переменной под знаком интеграла, интегрирование по частям.

Приложения определенного интеграла.

Вычисление с помощью определенного интеграла длины дуги кривой.

Вычисление с помощью определенного интеграла площади плоской фигуры.

Вычисление с помощью определенного интеграла объема тела вращения.

Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы 1 рода: определение, понятие сходимости.

Несобственные интегралы 2 рода: определение, понятие сходимости.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Кратные интегралы.

Криволинейные интегралы.

Криволинейные интегралы 1-го рода и их свойства, сведение криволинейных интегралов 1-го рода к определенным интегралам. Криволинейные интегралы 2-го рода и их свойства, сведение криволинейных интегралов 2-го рода к определенным интегралам. Формула Грина на плоскости, применение формулы Грина к вычислению площадей.

Поверхностные интегралы.

Простые поверхности. Криволинейные координаты на поверхности. Формулы площади простой поверхности при различных способах ее задания. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.

Теория поля.

Скалярные и векторные поля. Производная скалярного поля по направлению, градиент, оператор Гамильтона. Дивергенция и ротор векторного поля в декартовых координатах. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса. Инвариантность divA и rotA. Потенциальные и соленоидальные векторные поля.

Рекомендуемая литература

В.А.Ильин, Э.Г.Позняк, Основы математического анализа, М., Наука, Вып. 1 (1967 г), Вып 2 (1980 г.),

Г.М.Фихтенгольц, Основы математического анализа, М., Наука, 1968.

В.М.Шипачев, Высшая математика, М., Высшая школа, 1998.

Б.П.Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1969.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова В.М., Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1,ч.2, М., Высшая школа, 1998.

В.М.Шипачев, Задачник по высшей математике, М., Высшая школа, 1998.

В.П.Минорский, Сборник задач по высшей математике, М., Наука, 1971.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №1

Вариант № 1

5. Вычислить методом подстановки

6. Вычислить методом интегрирования по частям

7. Вычислить интеграл от рациональной функции

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Вариант № 2

1. Вычислить методом подстановки

2. Вычислить методом интегрирования по частям

3. Вычислить интеграл от рациональной функции

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Вариант № 3

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Вариант № 4

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, x = 1 и x = 2

Вариант № 5

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, y = x , x = 0 , x = 1.

Вариант № 6

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, расположенной в 1 четверти и ограниченной линиями

и

Вариант № 7

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить
   интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Вариант № 8

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Вариант № 9

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Вариант № 10

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Семестр

Основы линейной алгебры

1. Матрицы. Типы матриц.

2. Операции над матрицами.

3. Определители. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.

4. Миноры и алгебраические дополнения, теорема Лапласа.

5. Свойства определителей.

6. Обратная матрица, существование и вычисление.

Системы линейных уравнений

7. Система линейных уравнений, ее решения

8. Nтипы систем линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений.

9. Метод обратной матрицы.

10. Теорема Крамера, формулы Крамера.

11. Ранг матрицы, элементарные преобразования матриц, расширенная матрица.

12. Общая теория систем линейных уравнений, теорема Кронекера-Капелли.

13. Метод последовательного исключения переменных Гаусса.

Семестр

Теория вероятностей

Случайные величины.

14. Дискретная случайная величина, ее закон распределения.

15. Функция распределения, ее свойства.

16. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины, их свойства.

17. Моменты.

18. Непрерывная случайная величина.

19. Плотность распределения вероятностей, ее свойства.

20. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

21. Закон больших чисел, теорема Чебышева.

22. Центральная предельная теорема.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Статистические оценки.

23. Генеральная и выборочная совокупности. Статистическое распределение выборки.

24. Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Статистические оценки.

25. Типы оценок. Точечная оценка. Выборочная средняя.

26. Выборочная дисперсия. Метод наибольшего правдоподобия.

27. Интервальная оценка . Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и при неизвестном среднем квадратичном отклонении, среднего квадратичного отклонения нормального распределения, вероятности биномиального распределения.

Вариант №1

1. За круглым столом случайным образом сидят 6 человек, среди которых A и B. Какова вероятность того, что A и B окажутся рядом?

2. В отделе имеется два компьютера. Вероятность исправной работы в течении года для первого компьютера равна 0,8, а для второго – 0,85. Случайная величина X – число компьютеров, не потребовавших ремонта в течении года. Составить ее закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. Даны результаты исследования зависимости веса Y (в кг) цилиндрических болванок от их длины X (в см):

Значения X:

Соответствующие значения Y:

1.16	1.21	1.24	1.23	1.16	1.19	1.18	1.18	1.16	1.22	1.23	1.21	1.17	1.23	1.16	1.23	1.21
1.23	1.18	1.22	1.17	1.16	1.20	1.22	1.25	1.17	1.22	1.20	1.19	1.21	1.22	1.25	1.16	1.20
1.18	1.25	1.18	1.24	1.21	1.25	1.20	1.20	1.22	1.23	1.20	1.19	1.17	1.20	1.20	1.17

4.

Вариант №2

1. На двух карточках написана буква А, на трех – буква В и на четырех – буква З. Последовательно вынимаются и кладутся слева направо 4 карточки. Какова вероятность того, что получится слово ВАЗА?

2. Вероятность того, что телефон справочной службы окажется не занят равна 0,4. Абонент хочет дозвониться до справочной, для чего предпримет не более четырех попыток. Случайная величина X – число использованных попыток. Составить ее закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. В результате исследования зависимости мощности 50 двигателей Y (в квт) от числа оборотов X (в сотнях об/мин) получены следующие результаты:

Значения X:

Соответствующие значения Y:

25.9	26.9	27.8	27.1	25.9	27.2	27.9	27.6	25.9	27.8	27.1	27.3	26.9	26.6	28.7	27.7	27.6
26.0	28.0	27.1	26.7	26.6	27.6	26.3	26.9	27.0	27.9	27.1	27.1	26.9	27.1	28.7	26.4	25.9
28.7	26.8	28.2	27.1	28.1	27.8	26.5	28.6	27.1	27.5	27.5	27.2	28.6	27.1	26.7	26.7

Вариант №3

1. Номер автомобиля содержит 4 цифры. Какова вероятность того, что первые две цифры окажутся равными двум последним (например, 1313)?

2. На склад поступило семь принтеров, из них – 4 новых и 3 бывших в употреблении. Случайная величина X – число новых принтеров из двух наудачу выбранных. Составить ее закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. В результате экспериментального исследования зависимости температуры воздуха в кабине трактора Y (в градусах) от температуры наружного воздуха X (в градусах) получены следующие результаты:

Значения X:

Соответствующие значения Y:

27.03	36.20	36.03	33.22	27.03	38.88	31.29	34.44	27.03	35.06	33.64	36.88	32.42	32.46	39.56	34.21	39.10
34.84	34.94	34.69	38.04	30.44	38.58	36.64	32.54	39.20	31.63	36.36	40.77	30.92	37.78	44.65	44.65	36.41
41.45	44.65	38.21	36.88	38.85	44.65	35.10	35.00	28.25	36.42	39.96	34.76	32.18	33.22	30.93	40.99

Вариант №4

1. Три завода выпускают одинаковые изделия. Вероятность изделию первого завода оказаться бракованным равна 0,3, изделию второго завода – 0,2, третьего завода – 0,1. Взято по одному изделию каждого завода. Какова вероятность того, что среди них окажутся не менее двух бракованных?

2. Вероятность того, что покупатель обнаружит в магазине нужную ему вещь равна 0,85. В микрорайоне три магазина, которые покупатель обходит последовательно в поисках этой вещи пока ее не обнаружит либо не обойдет все магазины. Случайная величина X – число магазинов, которые обойдет покупатель. Составить ее закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. Даны результаты исследования зависимости годового расхода топлива на один трактор Y (в тоннах) от годовой выработки трактора X (в сотнях га):

Значения X:

6.8	6.1	7.8	4.8	6.9	8.8	3.8	7.5	7.4	9.8	6.1	3.4	9.4	8.1	6.6	8.0	7.9
4.7	10.1	9.5	8.2	3.4	5.4	6.6	6.2	3.9	8.1	8.7	4.0	5.2	9.6	10.8	8.2	9.2
7.7	5.7	9.0	10.3	8.5	6.2	5.4	5.9	5.6	4.9	11.0	5.3	8.4	7.7	8.5	6.2

Соответствующие значения Y:

Вариант №5

1. К Новому году пяти детям были приготовлены пять различных подарков. Однако Дед Мороз перепутал подарки и вручил их детям случайным образом. Какова вероятность того, что каждый ребенок получил свой подарок?

2. Вероятность того, что саженец приживется равна 0,8. Было куплено четыре саженца. Случайная величина X – число прижившихся саженцев. Составить ее закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. Даны результаты исследования зависимости отклонений размеров валиков от номинала при чистовой обработке Y (в мкм) от отклонений размеров валиков от номинала при черновой обработке X (в мкм):

Значения X:

-5	-21	-12	-12	-14	-16	-19	-11	-10	-28	-11	-15	-14		-16		-16
-17	-24	-1	-5	-2	-8	-20	-12	-3	-9	-12	-29	-10	-2	-13	-19	-34
		-9	-16	-13	-7	-9	-12	-7		-19	-15	-11	-21	-14	-16

Соответствующие значения Y:

-3					-3				-3	-1
											-1					-3

4.

Вариант №6

1. Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 наудачу выбирают три числа. Какова вероятность того, что их произведение нечетно?

2. Студент выучил половину из 20 экзаменационных вопросов. На экзамене студент получает случайным образом 2 из 20 вопросов. Случайная величина X – число вопросов на экзамене, ответы на которые знал студент. Составить ее закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. Даны результаты исследования зависимости выносливости образцов стали Y (в сотнях кг/мм ) от предела прочности X (в сотнях кг/мм ):

Значения X:

1.0	1.6	1.0	1.7	1.4	1.5	0.9	1.4	0.8	0.6	1.2	1.4	1.9	0.8	1.2	0.6	0.6
1.0	1.0	0.9	1.6	0.2	0.4	0.7	1.6	0.8	1.4	1.1	1.0	1.0	0.8	0.4	1.4	0.6
0.6	1.0	0.7	1.6	1.4	0.7	1.3	1.3	1.2	1.7	0.9	1.2	1.2	2.1	1.6	1.2

Соответствующие значения Y:

0.36	0.55	0.45	0.57	0.36	0.54	0.44	0.52	0.36	0.40	0.48	0.52	0.60	0.42	0.49	0.39	0.39
0.45	0.45	0.44	0.56	0.49	0.37	0.40	0.55	0.43	0.53	0.48	0.46	0.45	0.43	0.63	0.51	0.40
0.39	0.63	0.41	0.56	0.52	0.63	0.50	0.51	0.48	0.57	0.44	0.48	0.49	0.63	0.55	0.49

Вариант №7

1. Игрок выигрывает, если в результате подбрасывания двух игральных костей набирает в сумме число большее или равное 10. Найти вероятность выигрыша в одной игре.

2. Стрелку дается три патрона. Он стреляет по мишени до первого попадания, причем вероятность поражения мишени при каждом выстреле равна 0,65. Случайная величина X – число использованных патронов. Составить ее закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. Даны результаты исследования зависимости коэффициента обрабатываемости Y от ударной вязкости X (в кг/мм ) инструментальных быстрорежущих сталей:

Значения X:

1.2	1.1	0.9	1.6	1.3	1.0	1.1	1.0	1.7	1.0	1.3	1.0	1.1	1.2	0.9	1.0	1.2
1.3	0.6	1.6	1.3	1.1	1.0	1.2	1.3	1.4	0.6	1.1	1.2	1.0	0.9	1.0	0.9	0.9
1.2	1.1	1.0	1.4	1.2	1.3	1.0	0.7	1.1	1.0	1.1	1.0	1.1	1.1	0.9	0.9

Соответствующие значения Y:

0.56	0.71	0.66	0.82	0.56	0.67	0.70	0.69	0.56	0.67	0.75	0.67	0.70	0.73	0.65	0.67	0.73
0.76	0.56	0.61	0.75	0.70	0.67	0.72	0.74	0.76	0.59	0.69	0.72	0.68	0.66	0.83	0.64	0.65
0.72	0.83	0.67	0.78	0.73	0.83	0.67	0.62	0.70	0.68	0.69	0.68	0.70	0.70	0.66	0.65

Вариант №8

1. В шкаф поставили 6 новых одинаковых приборов. Для проведения опыта берут наугад 3 прибора, после работы их возвращают в шкаф. Определите вероятность того, что после проведения двух опытов в шкафу не останется неиспользованных приборов.

2. Эксперт проверяет качество товара в партии из трех изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным равна 0,15. Случайная величина X – число бракованных изделий в этой партии. Составить ее закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. Даны результаты исследования зависимости стойкости сверл Y (в минутах) от толщины сердцевины X (в мм):

Значения X:

0.81	0.82	0.77	0.83	0.78	0.81	0.84	0.92	0.86	0.91	0.73	0.82	0.83	0.79	0.87	0.82	0.79
0.89	0.77	0.85	0.85	0.86	0.85	0.88	0.80	0.85	0.84	0.89	0.73	0.83	0.87	0.79	0.87	0.81
0.82	0.74	0.83	0.86	0.83	0.84	0.78	0.90	0.89	0.78	0.91	0.76	0.83	0.80	0.78	0.83

Соответствующие значения Y:

Вариант №9

1. С конвейера сошло 10 изделий, причем два из них содержат брак. Для проверки случайным образом было выбрано три изделия. Найти вероятность того, что среди них окажется одно бракованное.

2. Спортсмен бросает мяч в баскетбольную корзину 3 раза. Вероятность попадания каждый раз равна 0,75. Случайная величина X – число попаданий. Составить ее закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. Даны результаты исследования зависимости веса чугунной плитки Y (в кг) от ее длины X (в см):

Значения X:

Соответствующие значения Y:

22.9	47.2	39.9	35.0	32.6	38.5	36.9	22.9	44.5	42.2	42.2	37.2	42.6	31.0	47.2	31.0	34.2
32.6	30.9	39.0	31.3	44.9	48.5	28.2	29.2	33.5	32.4	32.5	22.9	38.1	50.9	37.2	46.1	45.0
50.9	43.7	50.9	39.6	50.9	43.7	37.6	40.8	43.2	41.1	30.9	39.3	38.4	42.1	32.5	22.9

Вариант №10

1. При одном цикле обзора радиолокационной станции объект обнаруживают с вероятностью 0,2. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найти вероятность того, что при двух циклах объект будет обнаружен ровно один раз.

2. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,6. Случайная величина X – общее число попаданий при одном залпе. Составить ее закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. В результате экспериментального исследования зависимости времени трелевки Y (в мин) от расстояния трелевки X (в м) получены следующие результаты:

Значения X:

Соответствующие значения Y:

3.86	5.11	4.80	4.38	3.86	4.26	5.19	4.71	3.86	4.33	4.70	4.63	4.47	4.32	5.18	4.96	4.68
4.72	4.62	4.71	5.55	4.53	4.60	5.12	4.68	4.40	4.12	4.78	4.35	4.04	5.02	5.55	5.04	5.22
4.29	5.35	4.75	5.00	4.80	5.35	5.35	4.28	3.86	4.71	4.26	4.83	4.39	4.95	4.65	4.92

В г. Апатиты

МАТЕМАТИКА

Методическое пособие для студентов

(заочное отделение)

специальности

071600 «Высоковольтные энергетика и электротехника»

180400 «Электропривод и автоматика промышленных

установок и технологических комплексов»

«Технофизика»

Составитель:

преподаватель кафедры общих дисциплин, доцент,

к.ф.-м.н Дашкевич Ж.В...

Семестр

Математический анализ

Программа курса

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ