Уравнение неразрывности потока
Уравнение неразрывности потока представляет собой закон сохранения массы для элементарного объема пористой среды. Выделим мысленно в пористой среде, в которой происходит движение однородной сжимаемой жидкости или газа, объем в виде параллелепипеда с ребрами Dx, Dy, Dz (рисунок 1.5). Найдем массу, которая входит в выделенный объем вдоль оси x за время Dt. Обозначим левую и правую грани индексами 1 и 2. Через левую грань войдет масса (r ux)1 Dy Dz Dt, а через правую грань войдет масса (r ux)2 Dy Dz Dt.
Рисунок 1.5 – Схема элемента пласта |
Тогда внутри объема останется масса равная разности этих масс d mx. Если расстояние между гранями Δx устремить к нулю, то эта разность преобразуется к виду:
 | (1.33) |
Аналогично можно найти массы, которые останутся внутри объема при движении вдоль осей y и z. Таким образом, общая масса, оставшаяся внутри объема, равна сумме этих масс:
 . | (1.34) |
С другой стороны, масса жидкости внутри порового пространства выделенного объема равна произведению плотности r, пористости m и объема. Поэтому увеличение массы для бесконечно малого промежутка времени равно:
 | (1.35) |
Прировняв эти массы и преобразовав полученное уравнение, получим дифференциальное уравнение неразрывности потока:
 . | (1.36) |
Первое слагаемое в этом уравнении отвечает за нестационарность движения, поэтому если оно равно нулю, по движение стационарно. Остальные слагаемые отвечают за движение вдоль соответствующих осей.
Отметим, что уравнение неразрывности потока справедливо только в том случае, если поток неразрывен, то есть в потоке нет других жидкостей или газов, а также нет источников или стоков, выделяющих или поглощающих флюид (химических реакций, фазовых превращений и т. д.).
В дивергентном виде это уравнение записывается:
 . | (1.37) |
В частных случаях уравнение упрощается.
Для плоскопараллельного потока (приток к галерее) оно имеет вид:
 . | (1.38) |
Для плоскорадиального потока (приток к скважине):
 | (1.39) |
Для радиально–сферического потока:
 | (1.40) |
При стационарном движении уравнение неразрывности удобно записать в интегральном виде. Для этого выберем элементарную струйку или поток, боковые поверхности которого непроницаемы для жидкости, а торцевые представляют собой поперечные сечения, то есть перпендикулярны направлению скорости. Проинтегрируем уравнение неразрывности потока по объему между этими сечениями и применим теорему Остроградского – Гаусса, то есть перейдем от интеграла по объему к интегралу по боковой поверхности этого объема:
 | (1.41) |
В этом выражении производная по времени обратилась в ноль, так как движение стационарное. Интеграл по боковой поверхности равен нулю, так как скалярное произведение вектора скорости и нормали к боковой поверхности SБ равно нулю (угол между этими векторами составляет 90° из–за того, что граница непроницаема). В первом поперечном сечении угол между вектором скорости и нормали к поперечному сечению составляет 180°, поэтому косинус этого угла в скалярном произведении равен минус единице. Поэтому интеграл по поверхности первого поперечного сечения представляет собой массовый расход в этом поперечном сечении с отрицательным знаком.
Аналогично интеграл по поверхности второго поперечного сечения представляет собой массовый расход в этом сечении, но с положительным знаком, так как угол между вектором скорости и нормали к поперечному сечению равен нулю.
Из полученного выражения следует, что массовый расход в любом поперечном сечении потока при стационарном движении – величина постоянная:
 . | (1.42) |
Если происходит движение несжимаемой жидкости, то плотность в разных сечениях будет постоянной. Поэтому для несжимаемой жидкости будет постоянным не только массовый расход, но и объемный расход: