Критерий устойчивости Гурвица 1 страница

ТЕОРИЯ

АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

Конспект лекций

для студентов специальности 7.092201 "Электрические системы

и комплексы транспортных средств"

по специализации 7.092201.02 "Эксплуатация судовых

автоматизированных систем"

Керчь - 2009 г

УДК 62-83-52 (075.8)

Дворак Н.М. к.т.н., доц. каф. ЭСиАП КГМТУ

Рецензент: Голиков С.П., к.т.н., доц. каф. ЭСиАП КГМТУ

Конспект лекций рассмотрен и одобрен на заседании кафедры ЭСиАП КГМТУ,

протокол № 2 от 10.09.09

Конспект лекций рассмотрен и одобрен на методической комиссии МФ КГМТУ,

протокол №1 от 2.10.09

Конспект лекций утвержден на методическом совете КГМТУ,

протокол №1 от 15.10.09

© Керченский государственный морской технологический университет

Тематика лекционных занятий

(выписка из рабочей программы дисциплины)

Наименование тем, краткое содержание материала.	Час
ВВЕДЕНИЕ. Общая характеристика и принципы построения САУ
1.ЛИНЕЙНЫЕ САУ
Математическое описание линейных САУ. Передаточная функция. Типовых воздействия
Переходный процесс и функция веса
Частотные характеристики САУ
Типовые динамические звенья. Модели судовых объектов управления и регулирования
Структурные схемы САУ и их преобразования. ПФ разомкнутых и замкнутых САУ
Критерии устойчивости. Выделение областей устойчивости по параметрам настроек САУ
Прямые и косвенные показатели качества САУ и их взаимосвязь. Ошибки регулирования
Виды корректирующих устройств и регуляторов. Коррекция САУ обратными связями
Влияние настроек стандартных регуляторов на показатели качества САУ
Методы синтеза линейных САУ
2.САУ СО СЛУЧАЙНЫМИ СИГНАЛАМИ
Случайные сигналы в САУ. Характеристики случайных сигналов и процессов
Прохождение стационарного случайного сигнала через линейное звено
Расчет ошибок регулирования при воздействии на САУ полезного сигнала с помехой
3.НЕЛИНЕЙНЫЕ САУ
Определение нелинейных САУ. Анализ нелинейных САУ методом припасовывания
Определение фазовых траекторий. Фазовые траектории линейных САУ 2-го порядка
Расчет в фазовых переменных нелинейных САУ 1-го и 2-го порядков с различными реле
Нелинейные САУ с переменной структурой и скользящим режимом
Метод гармонической линеаризации и его применение при исследование нелинейных САУ
Устойчивость нелинейных САУ
4.ИМПУЛЬСНЫЕ САУ
Импульсные и цифровые САУ. Виды модуляции. Типы импульсных элементов
Способы математического описания импульсных сигналов
Дискретные передаточные функции звеньев, разомкнутых и замкнутых импульсных САУ
Методы расчета переходных процессов в импульсных САУ. Устойчивость импульсных САУ
Синтез микропроцессорных корректирующих устройств и регуляторов импульсных САУ
Определение дискретных передаточных функций для непрерывных устройств
5.ОПТИМАЛЬНЫЕ САУ
Постановка задач оптимального управления. Вариационные методы оптимальных САУ
Оптимальные управления ДПТ с независимым возбуждением
Оптимальное управление асинхронным двигателем в установившемся режиме
Оптимальное по минимуму расхода топлива управление движением судна
Методы оптимального управления, основанные на принципе максимума Понтрягина
Оптимальное управление СГ электростанции по критерию устойчивости
6.АДАПТИВНЫЕ САУ
Поисковые адаптивные САУ
Беспоисковые адаптивные САУ
Итого:

Общий объём дисциплины - 243 часа

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. Классификация САУ. Принципы автоматического управления 6

1. ЛИНЕЙНЫЕ САУ....................................................................... 8

1.1. Линеаризация элементов САУ. Преобразование Лапласа, передаточные функции.

Типовые воздействия и реакция на них..................................... 8

1.2. Методы расчета переходных процессов, функции веса и построения

графиков переходных процессов........................................... 11

1.3. Частотные характеристики линейных САУ........................ 16

1.4. Логарифмические амплитудно-частотые характеристики – ЛАЧХ 18

1.5. Типовые позиционные звенья САУ..................................... 21

1.6. Типовые дифференцирующие звенья САУ......................... 24

1.7. Типовые интегрирующие звенья САУ................................ 26

1.8. Структурные схемы САУ и их преобразования................. 28

1.9. Понятие об устойчивости САУ. Прямые методы устойчивости.

Критерий устойчивости Гурвица. Определение допустимых настроек САУ 31

1.10. Критерий устойчивости Михайлова. Определение допустимых настроек САУ 33

1.11. Критерий устойчивости Найквиста. Использование ЛАЧХ для

оценки устойчивости САУ..................................................... 35

1.12. Прямые показатели качества САУ. Расчет ошибок регулирования.

Статические и астатические САУ......................................... 37

1.13. Косвенные показатели качества САУ и их связь с прямыми показателями качества.

Использование ЛАЧХ для оценки качества САУ..................... 39

1.14. Типовые законы регулирования. Влияние П-регулятора на показатели качества САУ 41

1.15. Типовые законы регулирования. Влияние И-регулятора на показатели качества САУ 43

1.16. Типовые законы регулирования. Влияние Д-регулятора на показатели качества САУ 46

1.17. Принципиальные электрические схемы типовых регуляторов 49

1.18. Схемы корректирующих устройств на пассивных элементах 51

1.19. Схемы корректирующих устройств на активных элементах 52

1.20. Коррекция линейных САУ с помощью местных обратных связей 54

1.21. Пример судовой линейной САУ........................................ 56

1.22. Сущность процесса синтеза САУ. Частотный метод синтеза линейных САУ 58

2. САУ СО СЛУЧАЙНЫМИ СИГНАЛАМИ.............................. 60

2.1. Типы случайных процессов и их характеристики............. 60

2.2. Прохождение стационарного случайного сигнала через линейное звено 62

2.3. Расчет ошибок регулирования в линейной САУ при воздействии

на нее полезного сигнала с помехой..................................... 64

2.4. Пример судовой САУ, отрабатывающей полезный сигнал с помехой 65

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ САУ.................................................................. 66

3.1. Определение нелинейных САУ. Анализ нелинейных САУ методом припасовывания 66

3.2. Определение и свойства фазовых траекторий. Фазовые траектории линейных

САУ 2-го порядка.......................................................................... 68

3.3. Расчет фазовым методом нелинейной САУ 2-го порядка с идеальным

трехпозиционным реле........................................................... 71

3.4. Расчет фазовым методом нелинейной САУ 2-го порядка с гистерезисным

двухпозиционным реле................................................................ 73

3.5. Расчет фазовым методом нелинейной САУ 1-го порядка с гистерезисным

двухпозиционным реле................................................................ 74

3.6. Нелинейная САУ с переменной структурой....................... 75

3.7. Нелинейная САУ со скользящим режимом......................... 77

3.8. Метод гармонической линеаризации. Коэффициенты гармонической линеаризации 78

3.9. Исследование нелинейных САУ методом гармонической линеаризации 81

3.10. Устойчивость нелинейных САУ........................................ 82

4. ИМПУЛЬСНЫЕ САУ................................................................. 84

4.1. Импульсные и цифровые САУ. Виды модуляции непрерывных сигналов 84

4.2. Схемы импульсных модуляторов......................................... 86

4.3. Способы описания импульсных сигналов. Особенности соответствия

оригиналов и изображений.................................................... 87

4.4. Дискретные передаточные функции звеньев...................... 91

4.5. Дискретные передаточные функции разомкнутых и замкнутых импульсных САУ 93

4.6. Методы расчета переходных процессов в импульсных САУ 95

4.7. Устойчивость импульсных САУ.......................................... 96

4.8. Синтез корректирующих устройств и регуляторов импульсных САУ 98

4.9. Реализация микропроцессорных корректирующих устройств по заданным дискретным

передаточным функциям.............................................................. 99

4.10. Определение дискретных передаточных функций микропроцессорных устройств,

реализующих работу непрерывных устройств.......................... 101

5. ОПТИМАЛЬНЫЕ САУ............................................................... 103

5.1. Постановка задач оптимального управления. Вариационные методы

теории оптимальных САУ ..................................................... 103

5.2. Оптимальное управление ДПТ с независимым возбуждением при

постоянном моменте сопротивления.................................... 108

5.3. Оптимальное управление ДПТ с независимым возбуждением при

ограничениях на частоту вращения и ток якоря.................. 110

5.4. Оптимальное управление ДПТ с независимым возбуждением при

моменте сопротивления, зависящем от частоты вращения и времени 111

5.5. Оптимальное управление ДПТ с независимым возбуждением при

моменте сопротивления, зависящем от угла поворота вала 113

5.6. Оптимальное управление асинхронным двигателем в установившемся режиме 114

5.7. Оптимальное по минимуму расхода топлива управление движением судна 116

5.8. Методы оптимального управления, основанные на принципе максимума Понтрягина 117

5.9. Оптимальное управление объектом 2-го порядка при ограничении

на величину сигнала управления.......................................... 119

5.10. Оптимальное управление синхронными генераторами электростанции

по критерию устойчивости.......................................................... 122

6. АДАПТИВНЫЕ САУ.................................................................. 123

6.1. Назначение и классификация адаптивных САУ. Структура и

принцип действия самонастраивающихся систем............... 123

6.2. Методы определения градиента целевой функции............ 127

6.3. Организация рабочих операций в экстремальной САУ.... 130

6.4. Пример экстремальной САУ асинхронного электропривода по

минимуму потребляемого тока.............................................. 133

6.5. Структура и принцип действия беспоисковых адаптивных САУ 135

ЛИТЕРАТУРА.................................................................................. 138

ВВЕДЕНИЕ

Классификация САУ.

Принципы автоматического управления

Теория автоматического управления (ТАУ) - это наука о принципах построения и методах расчётов систем автоматического управления (САУ). САУ в самом общем виде имеют следующую обобщенную структурную схему:

Задатчиком (ЗД) задается желаемый закон изменения сигнала x_ж . Все остальные элементы САУ должны работать так, что бы фактический сигнал х_ф, который пропорционален выходному сигналу y объекта управления (ОУ) повторял закон изменения входного сигнала x_ж с заданными показателями качества, такими как ошибка, время регулирования и т.д.

Чувствительный элемент (ЧЭ) преобразует выходной сигнал y объекта управления к виду х_ф, в котором представлен сигнал x_ж, например, при электрическом сигнале х_ж сигнал х_ф также электрический.

Элемент сравнения (ЭС) служит для формирования сигнала ошибки регулирования ε, равного разности желаемого х_ж и фактического х_ф значений сигналов САУ.

Регулятор (Рег) - ключевой элемент САУ, который выполняет такие преобразования сигнала, при которых обеспечиваются требуемые показатели качества регулирования.

В САУ также обычно используются: усилитель мощности (УМ), исполнительный механизм (ИМ), и регулирующий орган (РО), предназначенные для того, чтобы преобразовывать маломощный сигнал регулятора в мощный сигнал, действующий на ОУ.

Классификация САУ

Системы автоматического управления (САУ) достаточно разнообразны, однако они поддаются четкой классификации по следующим признакам:

1. По виду уравнений статики и динамики, описывающих процессы управления: линейные и нелинейные.

2. По закону изменения входного сигнала x:

- системы автоматической стабилизации (x=const); примеры: САР частоты вращения дизеля; система автоматической стабилизации напряжения судовой сети САУ курсом судна в режиме "Автомат";

- системы программного управления (закон изменения x заранее известен); пример: САР стерилизации консервов в автоклаве;

- следящие системы (x изменяется по произвольному закону); пример: САУ курсом судна в режиме "Следящий".

3. По виду используемого регулятора:

- линейные, нелинейные, импульсные и цифровые САУ.

4. По общему алгоритму функционирования:

- обычные САУ; оптимальные и адаптивные САУ.

Принципы автоматического управления

Основополагающими понятиями САУ являются:

- структурная схема САУ и динамические характеристики звеньев САУ;

- состав и характеристики входных сигналов, которые подразделяются на сигналы управления и сигналы возмущения;

- совокупность показателей качества регулирования выходного сигнала.

Все многообразие САУ может быть сведено к 3-м элементарным схемам управления, называемыми также принципами управления: прямое управление, управление по возмущению, управление по отклонению.

1.2.1. Принцип прямого управления (рис.В.2)

САУ с прямым управлением содержит ОУ (на рис.В.2 под объектом управления понимается совокупность УМ+ИМ+РО+ОУ+ЧЭ из элементов рис.В.1) и регулятор. На ОУ и Рег действуют возмущающие сигналы g₁,…,g₆, изменяющие произвольным образом и которые ведут к непредсказуемым изменениям их выходных сигналов и и у. За выходным сигналом y следит человек-оператор, который вручную изменяет сигнал x так, чтобы достичь заданных значений сигнала y. Сигналы возмущения g₁..g₆ человеком не контролируются.

Данная САУ называется также САУ разомкнутого типа, чем подчеркивается то обстоятельство, что выходной сигнал у не используется техническими средствами автоматизации УМ, ИМ, РО, ОУ, ЧЭ и Рег в формировании сигнала задания х и управления объектом.

Достоинства: Предельная простота регулятора.

Недостатки: 1. Обязательное присутствие человека- оператора, который является наиболее ненадежным звеном САУ.

2. Малая точность регулирования, особенно в динамике, когда сигналы х, g₁, ..., g₆ быстро изменяются.

3. Невысокое быстродействие, обусловленное медленной реакцией человека на изменения сигнала у.

Пример: Электропривод якорно-швартового устройства. Оператор с помощью соответствующих органов управления задаёт одну из фиксированных скоростей вращения двигателя. Сигналами возмущения g₁..g₆ являются: натяжение якорной цепи, напряжение питания электродвигателя, температура обмоток двигателя и др.

1.2.2. Принцип управления по возмущению (рис.В.3)

В САУ некоторые из сигналов возмущения, например g₁, g₄ и g₆ , которые можно измерить и преобразовать в электрический сигнал (принимаем регулятор электрическим), заводятся на вход регулятора через сумматор См. Это приводит к такому изменению выходного сигнала регулятора u, при котором компенсируется действие на систему измеренных сигналов возмущения.

Достоинства: 1. Наивысшее быстродействие в сравнении быстродействием с другими типов САУ.

2. Выше точность регулирования в сравнении с прямым управлением.

3. Выше надежность регулирования, так как человек не участвует непосредственно в управлении объектом.

Недостатки: 1. Сложность выделения всех возмущений, действующих на элементы САУ.

2. Сложность их классификации на основные и второстепенные.

3. Сложность измерения и преобразования сигналов возмущения в электрический сигнал. Например, чрезвычайно сложной на практике является задача измерения механического момента в валах вращающихся механизмов.

Пример: САР напряжения генератора (система токового компаундирования). Регулируемый сигнал – напряжение на выводах генератора. Возмущающий сигнал – ток нагрузки генератора, который измеряется просто трансформатором тока.

1.2.3. Принцип управления по отклонению (рис.В.4)

Вводится цепь отрицательной обратной связи ООС и элемент сравнения ЭС, на котором вычитаются заданное значение x и фактическое значение y регулируемого сигнала. В ЭСформируется ошибка регулирования e. Регулятор Рег вырабатывает такой сигнал u, который уменьшает ошибку регулирования e.

Достоинства: 1. Нет необходимости в выяснении того, какие сигналы возмущения действуют на САУ, и, следовательно, не нужно их измерять.

2. Самая высокая точность регулирования в сравнении с другими схемами САУ.

Недостатки: Меньше в сравнении с управлением по возмущению быстродействие, т.к. регулирующий сигнал u начинает изменяться не в момент появления возмущений, а только после изменения y.

Примеры:

1. Авторулевой, удерживающий судно на заданном курсе с требуемой точностью в условиях волнения моря и других возмущающих сигналах.

2 .Электропривод траловой лебедки, обеспечивающий требуемые усилия и скорость выборки трала в условиях переменной нагрузки на ваерах, волнения моря, действия течений.

3. Холодильная автоматика, обеспечивающая поддержание заданной температуры в камерах в условиях изменяющегося притока тепла.

Достоинства схемы управления по отклонению настолько велики, что САУ в подавляющем числе случаев выполняются работающими именно по этой схеме.

На практике применяют также комбинированные САУ, сочетающие регулирование как по возмущению (рис.В.3), так и по отклонению (рис.В.4), которые обладают достоинствами обоих типов САУ.

Вопросы и задания

1. Какой набор элементов входит типовую структурную схему САУ ?

2. Приведите классификацию САУ.

3. Поясните принцип прямого управления в САУ разомкнутого типа. Назовите достоинства и недостатки данной САУ.

4. Поясните принцип управления в САУ по возмущению. Назовите достоинства и недостатки данной САУ.

5. Поясните принцип управления в САУ по отклонению. Назовите достоинства и недостатки данной САУ.

1. ЛИНЕЙНЫЕ САУ

1.1. Линеаризация элементов САУ.

Преобразование Лапласа. Передаточные функции.

Типовые воздействия и реакция на них

Все элементы САУ (общее название элементов - звенья) выполняют преобразования входных сигналов в выходные. Эти преобразования описываются как алгебраическими, так и дифференциальными уравнениями.

Линейными называются САУ, все звенья которых описываются линейными дифференциальными и алгебраическими уравнениями.

Методы расчетов САУ базируются, в основном, на использовании свойств решений дифференциальных уравнений. Наиболее простыми и систематически проработанными являются методы решения линейных дифференциальных уравнений. Методы решения дифференциальных уравнений, применяемые в расчетах линейных САУ, используются также фрагментарно в расчётах нелинейных, импульсных и других типов САУ.

Если не накладывать ограничений на пределы изменения входных сигналов реальных, физических объектов, то в общем случае они описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Например, линейные электронные усилители при больших уровнях входных сигналов входят в насыщение. В то же время физические объекты при малых изменениях входных сигналов практически не проявляют нелинейных свойств и, поэтому, могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями. Операция замены нелинейного дифференциального уравнения приближённым линейным дифференциальным уравнением называется линеаризацией.

1.1.1. Линеаризация дифференциальных уравнений

Основные этапы линеаризации (рис.1.1):

1. На графике нелинейной функции отмечается точка 0 начального режима. Обычно эта точка соответствует номинальному режиму работы звена.

2. В этой точке проводится касательная 3-4 и при малых отклонениях d истинная кривая 1-2 заменяется отрезком касательной прямой.

3. Вводится новая система координат - отклонения Dx и Dy. В этих координатах линеаризованное уравнение имеет вид

Δу=kΔx (1.1)

Для дальнейших расчетов важно также то, что начальные условия для линеаризованного уравнения являются нулевыми, т.е. при Δx=0 также и Δу=0.

Линеаризация участка 1-2 с помощью касательной не является единственно возможной, например, участок 1-2 можно заменить хордой или секущей. Однако вычисления линеаризованной кривой производятся наиболее просто с использованием касательной линии в точке 0 начального состояния.

Исходными данными для линеаризации является аналитическое выражение нелинейности, записанное в форме

Это уравнение в окрестности точки 0 может быть разложено в ряд Тейлора, и при малой указанной окрестности будет содержать только приращения первой степени:

(1.2)

Выражение (1.3) является линейным относительно входящих в него переменных и оно описывает плоскость, касательную в точке 0.

Рассмотрим более подробно технику линеаризации на числовом примере.

Дано: Дифференциальное уравнение (ДУ)

(1.3)

при начальных условиях: .

Задание: Линеаризовать (1.3), используя выражения (1.2).

Решение: Сначала, используя выражение и начальные условия (1.3), находим производные

а затем подобно (1.2) записываем линеаризованное дифференциальное уравнение

Далее в расчетах линейных САУ будем использовать только линейные ДУ и потому знак D будем опускать:

(1.4)

Уравнение (1.4) заменяет исходное нелинейное дифференциальное уравнение (1.3) в малой окрестности δ около точки начальных условий.

1.1.2. Формы записи линейных дифференциальных уравнений

Линейные ДУ могут быть записаны в естественной, символической и операторной формах.

Естественная форма:

(1.5)

Если производная имеет порядок не выше 2-го, то можно использовать верхние точки в обозначениях производных: .

Символическая форма:

Производная n-го порядка заменяется символом .

После замены уравнение (1.5) примет более простой вид:

(1.6)

Уравнение, записанное в такой форме, можно преобразовывать как алгебраическое. Однако решение уравнение не упрощается.

Операторная форма:

В основе операторной формы записи уравнения лежит преобразование Лапласа:

Если применить преобразование Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (1.5), то при рулевых начальных условиях для переменных х и у и их производных можно получить следующее операторное уравнение:

(1.7)

Следует обратить внимание формальное совпадение записей в символической (1.6) и операторной (1.7) формах. Однако смысл символа p в операторной и символической формах совершенно различен – если в первой форме p является символом, и вводится исключительно для упрощения записи уравнения, то во втором – это комплексная переменная р, введение которой влечет за собой простой подход к решению уравнения.

Операторная форма записи является основной формой, используемой в теории автоматического управления.

1.1.3. Передаточная функция

Учитывая то, что звенья описываются дифференциальными уравнениями, реальные сигналы заменяются их изображениями по Лапласу и дальнейшие расчеты ведутся в операторной форме.

Передаточная функция W(p)– это отношение изображений выходного y(p) и входного x(p) сигналов при нулевых начальных условиях:

(1.8)

1.1.4. Таблица преобразований Лапласа

В ТАУ подавляющее большинство задач решается с использованием передаточной функции W(p) и изображений х(р) от нескольких простейших функций x(t) (табл.1.1).

Таблица 1.1 - Таблица преобразований Лапласа

Оригинал x(t)	Изображение x(p)	Название
	1	Дельта-импульс
1(t)		Единичный сигнал
t		Линейная функция
		Экспонента
		Затухающие гармонические функции
		Затухающие гармонические функции

1.1.5. Типовые воздействия и реакции на них