Алгебраический критерий устойчивости гурвица

Определение устойчивости САУ с использованием алгебраического критерия Гурвица, выполняется следующим образом.

Из коэффициентов характеристического уравнения системы строится определитель Гурвица D по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули;

4) количество строк и столбцов соответствует порядку характеристического уравнения

алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru


Число определителей Гурвица равно порядку характеристического уравнения n.

Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением:

алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru ,

устойчива, если при a0>0 положительны все определители ∆1, ∆2, . . .∆п вида

алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.

Если n-й определитель ∆п=0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n=1;2;3;4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n=1)

алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru

условие устойчивости: а0>0 и ∆11>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.

2. Для уравнения второго порядка (n=2)

алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru

условие устойчивости:

алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru

Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n=3)

алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru

условие устойчивости:

алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru

При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3).

4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)

алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru .

При n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при

алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru .

Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель ∆п-1 были положительными.

Критерий Гурвица применяют при n ≤ 5. При больших порядках возрастает число определителей, и процесс становится трудоемким. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ.

При n>5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса.

Пример. Определение степени устойчивости системы по заданной ПФ с использованием критерия Гурвица.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы задана в виде:

W(s) = k/s(T1s +1)(T2s +1)

Исследовать устойчивость системы.

Передаточная функция замкнутой системы:

Wзс(p) = W(p)/[1 + W(p)], ()

где W(p) - передаточная функция разомкнутой системы. (см.Давыдов 4.1.9)

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение замкнутой системы:

D(p)=0, где D(p) =1+W(s)

при s = p получим:

p(T1p+1)(T2p+1)+ k = 0

Раскрыв скобки, получим характеристическое уравнение 3-го порядка:

T1T2p3 + (T1 + T2)p2 + p + k = 0.

Тогда для данного характеристического уравнения имеем следующие коэффициенты:

a0 = T1T2; a1 = (T1 + T2); a2 = 1; a3 = k.

Коэффициенты положительны.

Составим матрицу Гурвица, найдем определители этой матрицы.

Для устойчивости системы все они должны быть положительными:

Δ1 = a1, откуда (T1 + T2) > 0; т.к. постоянные времени не могут быть отрицательными по физическому смыслу.

Δ2 = a1×a2 − a0 ×a3, откуда (T1 + T2) − k·T1·T2 > 0;

Δ3 = a1×a2×a3 − a0× алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru = a3( a1×a2 − a0×a3 ),

откуда a3 >0 , то есть k > 0.

Условие устойчивости по критерию Гурвица получает вид:

Из определителя Δ2 имеем: (T1 + T2) > k·T1·T2 или алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru

С учетом вышеуказанного можно определить:

1) an = 0, k = 0; алгебраический критерий устойчивости гурвица - student2.ru

2) Δn-1 = 0,

3) a0 = 0, T1·T2 = 0.

Используя данный прием, можно определить степень устойчивости системы, зная её ПФ , а также вычислить границы устойчивости замкнутой системы.

ЛЕКЦИЯ № 10

Наши рекомендации