Критерий устойчивости Рауса - Гурвица

Это алгебраический критерий, по которому условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Е. Раусом (1872 г.) и затем швейцарским математиком А. Гурвицем (1895 г.). Приведем без доказательства этот критерий в форме Гурвица.

Возьмем характеристический полином, определяющий левую часть дифференциального уравнения системы:

, (6.7)

где полагаем a₀>0, что всегда можно обеспечить умножением, при необходимости, полинома на -1. Из коэффициентов этого уравнения построим квадратную матрицу (таблицу) Рауса-Гурвица. Эта матрица называется определителем Гурвица. Он имеет n строк и n столбцов.

, (6.8)

Мнемоническое правило для составления этой матрицы следующее. В первом столбце записываются все нечетные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а₁. Затем каждая строка матрицы дописывается последовательно коэффициентами с уменьшающимися номерами вплоть до а₀, после чего дописываются нули так, чтобы общее количество элементов в строке равнялось n. В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме а₀. Например, третья строка матрицы должна начинаться с нечетного коэффициента а5 и выглядеть следующим образом:

, (6.9)

Условия устойчивости заключаются в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.

Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных значений n.

Для n=1

и условия устойчивости сводятся к неравенствам:

.

Для n=2

;

.

Условия устойчивости: a₀>0; a₁>0; a₂>0. Система на границе устойчивости, если а₁=0 или а₂=0. Звено с передаточной функцией устойчиво, если перед всеми членами стоит знак плюс и находится на границе устойчивости, если Т₂=0.

Для n=3

;

Условия устойчивости: a₀>0; a₁>0;

;

.

Для n=4

;

Условия устойчивости: a₀>0; a₁>0;

;

;

.

Очевидно, что условия устойчивости опять сводятся к требованию положительности всех коэффициентов. То же самое можно сказать и для системы n-го порядка. Поэтому анализ устойчивости надо начинать с проверки этого простого необходимого, но недостаточного условия устойчивости.

Условия устойчивости, получаемые из критерия Рауса-Гурвица, усложняются с ростом порядка системы. Так, например, для уравнения 5-го порядка надо сделать около 60-ти умножений. Поэтому используют специальные приемы, например таблицы Рауса. Для систем 4-го и выше порядка целесообразно использование частотных критериев устойчивости.

Рассмотрим пример анализа устойчивости системы управления, принципиальная схема которой приведена на рисунке 6.3. Предположим, что контур напряжения оптимизирован, т.е. передаточная функция регулятора напряжения

, (6.10)

Тогда передаточная функция замкнутого контура напряжения будет иметь вид:

, (6.11)

Здесь .

В данном случае пренебрегаем величиной 2Tп²p², полагая что T_п<<1.

Если T_м>4T_э, то передаточная функция двигателя по управляющему воздействию может быть представлена в виде:

, (6.12)

где .

Учитывая (6.11), (6.12), а так же считая, что гибкая отрицательная обратная связь по току двигателя отключена, т.е. K_i=0, получим структурную схему, представленную на (рисунке 6.3). Этой структурной схеме можно поставить в соответствие передаточную функцию

Рисунок 6.3 Структурная схема САРС

,

(6.13)

где ; .

Выражению (6.13) соответствует характеристический полином

,

т.е.:

.

Здесь:

; (6.14)

Условие устойчивости, как показано выше, для n=3 сводится к следующим неравенствам:

Первые четыре неравенства не представляют особого интереса, т.к. из них следует только лишь условие положительности постоянных времени и коэффициентов передачи.

Последнее неравенство налагает реальные ограничения на параметры системы. Его удобно переписать в виде:

. (6.15)

Это неравенство показывает, что устойчивость системы нарушается при определенном значении коэффициента усиления разомкнутой системы. Его предельные значения определяются постоянными времени системы. Согласно (6.15), это критическое значение

, (6.16)

Отсюда: величина коэффициента усиления регулятора скорости не должна превышать величины

, (6.17)

Допустим, что рассматриваемая САУ имеет следующие параметры:

U_гн=U_дн=830 В; I_н=8700 А; R_э=0,006 Ом; n_н=60 об/мин; Т_э=0,045 с^-1; Т_м=0,18 с^-1; K_г=10; K_тп=40; Т_п=0,02 с; Т_г=4,4 с; W_рн(р)=K_рн=9; K_u=0,03.

Определим K_Е, Т₂, Т₃.

,

где .

Тогда .

В нашем случае Тм>4Тэ, поэтому двигатель можно представить двумя последовательно соединенными апериодическими звеньями, т.е.

,

где .

Из (6.16) следует

(6.18)

. (6.19)