Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с свойствами неопределенного интеграла:

или ! ; {при условии, VdU проще чем UdV}

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

4. Разложение прав. рац. дроби в сумму простейших. Интегрирование рац. дробей.

Определение: Рац. дробью называется ф-ция:

f(x) = P(x)/Q(x), где P(x), Q(x) – взаимно пропорциональные мн-ва.

P(x) = b₀+b₁x+…+b_mx^m

Q(x) = a₀+a₁x+…+a_nxⁿ

Если m<n f(x) – правильная дробь

m>=n – неправильная дробь

Теорема: Пусть знаменатель Q(x) прав. рац. дробь P(x)/Q(x) имеет действ. корень х=а кратности К, сущ. const A ≠ 0, такая, что справедливо равенство:

P(x)/Q(x) = P(x)/((х-а)^кQ₁(x)) = (А/(х-а)^к) + (P₁(x)/((х-а)^к-1Q₁(x))), при Q₁(а) ≠ 0

Док-во: Составим разность: (P(x)/((х-а)^кQ₁(x)) – (А/(х-а)^к ) = (P(x) – А*Q₁(х)) / ((х-а)^кQ₁(x)) = | A выбираем так, чтобы х=а было корень числ.| = P(a) – Aa₁(a) = 0

A = P(a)/ Q₁(x),

(P(x) – А*Q₁(х)) / ((х-а)^кQ₁(x)) = (a-x)*P₁(x) / (a-x)*Q₁(x)

Теорема: Пусть знаменатель Q(x) паравільная рац. дробь, P(x)/Q(x) имеет пару комплекс. корней кратности K, кот. соответствуют (х²+px+q) разложению Q(x), тогда сущ. const A и В, что справедливо разложение P(x)/Q(x) = P(x) / (х²+px+q)²*Q₁(x) = (Ах+В) / (х²+px+q)² +

P₁(x) / (х²+px+q)²*Q₁(x).

теоремы разложения следует: всякую прав. рац. дробь можно разложить в сумму простейших рац. дробей типа I – IV и это разложение единственное.

4-5.Интегрирование простейших рациональных дробей.

Определение: Рац. дробью называется ф-ция:

f(x) = P(x)/Q(x), где P(x), Q(x) – взаимно пропорциональные мн-ва

Определение: Элементарныминазываются дроби следующих четырех типов:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b² – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

I.

II.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

IV. ∫(Ax+B)/(x²+px+q)^k*dx = |x+p/2 = t; dx=dt; q-p²/4 = ±m²| =A*∫(d(t²+a²))/2(t²+a²)^k + (B-Ap/2)*∫(dt/(t²+a²)^k = (A/2)*(1/(1-k))*(1/( t²+a²)^k+1) + (B-Ap/2)J_k

6

Интегрирование тригонометрических функций.

1) Интеграл вида .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

2) ∫ соs^mx*sinⁿxdx, где m,n – нат. числа

а) пусть m = 2p+1

∫соs^2p+1x*sinⁿxdx = ∫ (1-cos²x)^p*sinⁿxdx*d(sinx) = ∫ (1-U²)^p*UⁿdU, если n=2p+1, то синус выносится под знак диф-ла

sin dx = -d(cosx)

б) m = 2p, n=2q

∫соs^2px*sin^2qdx = ∫((1+cos2x)/2)^p*((1-cos2x)/2)^q*d(sinx)

3) Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

7. Интегрирование иррац-тей.

1. ∫R(x, ⁿ√x)dx, R – рац. выражение – над х и ⁿ√x проведено конечное число арифмет. операций.

= |x=t^k, dx=kt^k-∙1dt, k – НОК| = ∫R(t^k, t)kt^k-1dt

2. Интеграл вида где n- натуральное число.

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

8. Задачи, приводящие к понятию определения ОИ

Определение Ньютона:Пусть ф-ция f(x) имеет смысл на [а, b] первообразную F(x), тогда определенным інтегралом ф-ции f(x) на [а, b] называется число F(b) - F(а)

_а∫^bf(x)dx = F(b) - F(а) = F(x)|_a^b

Задачи: (для Римана)

1)площадь криволинейной трапеции

2)масса отрезка с переменной плотностью

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

9. Определение ои как предела инт суммы. Св ои.

1)

2) ∫_a^bkdx = k(b-a)- вытекает из определения, т.к. ∑_k=0^n-1f(си_j)_дельтах_j =

∑_k=0^n-1 k_дельтах_j =k ∑_k=0^n-1 _дельтах_{j =} k(b-a)

3) - св-во линейности

4) Пусть ф-ция f(x) кусочно-постоянная на отрезке [a,b], т.е. сущ. разбиение отрезка [a,b] на (x_k, x_k+1) ф-ция f(x) принимает постоян зн-ние l_k:

∫_a^bf(x)dx = ∑_a^b l_{k дельта} x_k

5)

6) - свойство аддитивности

7) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

8) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

О. Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения: