Интегрирование тригонометрических функций
Знать:
v Основные тригонометрические формулы;
v основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Уметь:
v Использовать основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Использование тригонометрических преобразований
Интегралы вида:
; 
; 
, (16)
где 
, находятся с помощью формул:
;
;
.
Интегралы вида:
, (17)
Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки
= 
; 
.
На практике применяются и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции.
- если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно sinx, т.е. R(-sinx;cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку
t=cosx; dt= -sinxdx; 
, 
.
- если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно cosx, т.е. R(sinx;-cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку
t=sinx; dt=cos x dx; 
.
- если функция R(sinx;cosx) чётна относительно sinx и cosx, т.е. R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx), то следует применить подстановку
t=tgx; 
;
, 
.
Интегралы вида:
, (18)
1. где k, n — хотя бы одно число нечётное
отделить от нечётной степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
2. где k, n — чётные положительные
применить формулы понижения степени:
; 
; 
;
3. где k, n — нечётные положительные
отделить от наименьшей степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
4. где n — целое положительное число
применить подстановку t=sinx;
5. где k — целое положительное нечётное число
применить подстановку t=cosx;
6. где n+k — чётное отрицательное целое число
применить подстановку t=tgx;
7. где n и k — четные и хотя бы одно из них отрицательное
применить подстановку t=tg x или t=ctg x.
Интегралы вида:
, 
, 
(19)
если n=1, то
;
,
если n>1, воспользоваться формулами:
; 
,
позволяющими понизить степень тангенса или котангенса непосредственно, отделяем один множитель и подводим его под знак дифференциала, находим исходный интеграл.
№6. Найти интегралы: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
;
6) 
.
►1) = 
=
= 
= 
;
2) = 
= 
=
= 
=
= 
=
= 
;
3) = 
=
= 
= 
=
= 
= 
=
= 
;
4) = 
= 
=
= 
= 
= 
;
5) = 
= 
=
= 
= 
= 
=
= 
= 
= 
=
= 
+С;
6) = 
= 
= 
=
= 
= 
, ( 
.◄
Аудиторное занятие
Найти интегралы:
№248. 
. Ответ: 
.
№249. 
. Ответ: 
.
№250. 
. Ответ: 
.
№251. 
. Ответ: 
.
№252. 
. Ответ: 
.
№253. 
. Ответ: 
.
№254. 
. Ответ: 
.
№255. 
. Ответ: 
.
№256. 
. Ответ: 
.
№257. 
. Ответ: 
.
№258. 
. Ответ: 
.
№259. 
. Ответ: 
.
№260. 
.
Указание. Замена сosx=t.
Ответ: 
.
№261. 
.
Указание. Замена sinx=t.
Ответ: 
.
Домашнее задание
Найти интегралы:
№262. 
. Ответ: 
.
№263. 
. Ответ: 
.
№264. 
. Ответ: 
.
№265. 
. Ответ: 
.
№266. 
. Ответ: 
.
№267. 
. Ответ: tg x–x.
№268. 
. Ответ: 
.
№269. 
. Ответ: 
.
№270. 
. Ответ: 
.
№271. . Ответ: 
.
№272. 
. Ответ: 
.
№273. 
. Ответ: 
.
№274. 
. Ответ: 
.
№275. 
. Ответ: 
.
№276. 
. Ответ: 
.
№277. 
. Ответ: 
.
№278. 
. Ответ: 
.
№279. 
. Ответ: 
.
№280. 
. Ответ: 
.
Дополнительные задания
Найти интегралы:
№281. 
. Ответ: 
.
№282. 
. Ответ: 
.
№283. 
. Ответ: 
.
№284. 
.
Ответ: 
.
№285. 
. Ответ: 
.
№286. 
.
Ответ: 
.
№287. 
.
Ответ: 
.
№288. 
. Ответ: 
.
№289. 
.
Указание. Замена t=ctg x. Ответ: 
.
№290. 
. Ответ: 
.
№291. 
. Ответ: 
.
№292. 
. Ответ: 
, где t=tg x.
№293. 
. Ответ: ln|tg x|.
№294. 
. Ответ: 
.
№295. 
.
Указание. Замена ctgx=t.
Ответ: 
.
№296. 
. Ответ: ln|sinx|-sinx.
№297. 
.
Ответ: 
.
Примерный вариан решения
индивидуального домашнего задания
Найти интегралы:
№18. 
.
► = 
=
= 
=
= 
=
= 
.◄
№19. 
.
► = 
=
= 
= 
=
= 
.◄
№20. 
.
► = 
=
= 
= 
.◄
№38. 
.
► = 
=
= 
= 
= 
=
= 
.◄
№39. 
.
► = 
=
= 
= 
= 
=
= 
.◄
№40. 
► =
=
= 
= 
= 
=
= 
= 
=
= 
.◄
Занятие 7
Интегрирование некоторых иррациональностей
Цели
Знать:
v Основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей.
Уметь:
v Применять основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей;
v выделять полный квадрат из квадратного трёхчлена под знаком радикала;
v применять дробно-линейную подстановку; тригонометрическую подстановку.
Интегралы вида:
(20)
называют неопределёнными интегралами от квадратичных иррациональностей.
Постановка задачи. Найти интеграл .
План решения.
Для нахождения интеграла следует:
1. Если числитель есть дифференциал подкоренного трёхчлена, то следует сделать замену 
, что приводит исходный интеграл к виду 
.
2. Если числитель не зависит от х, т.е. М=0, то под знаком радикала выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, в результате чего получим квадратный двучлен, в зависимости от знака а исходный интеграл сводится к одной из табличных формул
[11]
или
[12].
3. Если 
, то под знаком радикала выделив полный квадрат, сделать подстановку 
, при этом исходный интеграл разбивается на сумму двух интегралов.
Интегралы вида
, (21)
где R — рациональная функция; p,q,…,s,t — целые числа, находятся с помощью постановки
,
где m — наименьшее общее кратное чисел q,…,t.
Частные случаи:
1) если в интеграле (21) с=0, то он будет иметь вид
, (22)
где 
;
2) если b=c=0, a=d=1, то интеграл (21) примет вид
. (23)
Интегралы вида (22) или (23) находятся с помощью подстановки
или 
.
К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
(24)
подстановкой
x=a sint; dx=a cost dt
или
x=a cost; dx=-a sint dt
(25)
подстановкой
x=a tgt; 
или
x=a ctgt; 
(26)
подстановкой
; 
или
Интегралы вида:
(27)
Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и 
. Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку , интегралы указанного вида приводятся к интегралам вида:
, 
, 
.
Интеграл от дифференциального бинома
(28),
где a, b — действительные числа; m, n, p — рациональные числа, берутся, лишь в случае, когда одно из чисел р, 
или 
— является целым.
Интеграл от дифференциального бинома сводится к интегралу от рациональной функции в трёх случаях:
1) когда р — целое число,
подстановка 
, где k — наименьшее общее кратное дробей m и n;
2) когда — целое число,
подстановкой 
, где s — знаменатель дроби p;
3) когда — целое число,
подстановкой 
, где s — знаменатель дроби р.
Во всех остальных случаях интегралы вида 
не выражаются через известные элементарные функции, т.е. «не берутся».
Интеграл вида:
(29)
можно найти подстановкой 
.
№ 7. Найти интегралы: 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
;
6) 
; 7) 
; 8) 
.
►1) = 
=
= 
= 
= 
=
= 
= 
;
2) = 
= 
= 
=
= 
= 
;
3) = 
= 
=
= 
= 
=
= 
;
4) = 
= 
=
= 
= 
= 
;
5) = 
= 
=
= 
= 
= 
=
= 
.
Замечание. Ответ можно упростить, если воспользоваться тем, что 
и 
, следовательно
= 
;
6) Это интеграл от дифференциального бинома.
= 
=
= 
=
= 
=
= 
= 
= 
= 
=
= 
;
7) = 
= 
=
= 
= 
.
Здесь учтено, что 
, что подынтегральная функция определена в интервале –1<x<1, вследствие чего х-1<0 и t<0 и поэтому|t|=-t.
= 
= 
;
8) = 
= 
=
= 
= 
=
= 
= 
=
= 
.
Получили возвратный интеграл. Следовательно, имеем:
= ;
;
;
Учитывая, что t=x-1, получаем
.◄
Аудиторное занятие
№298. 
. Ответ: 
.
№299. 
.
Ответ: 
.
№300. 
. Ответ: 
.
№301. 
.
Ответ: 
.
№302. 
. Ответ: 
.
№303. 
. Ответ: 
.
№304. 
.
Ответ: 
.
Домашнее задание
№305. 
.
Ответ: 
.
№306. 
. Ответ: 
.
№307. 
.
Ответ: 
.
№308. 
. Ответ: 
.
№309. 
.
Ответ: 
.
№310. 
. Ответ: 
.
№311. 
. Ответ: 
.
№312. 
. Ответ: 
.
№313. 
. Ответ: 
.
№314. 
.
Ответ: 
.
№315. 
. Ответ: 
.
№316. 
. Ответ: 
.
№317. 
. Ответ: 
.
№318. 
.
Ответ: 
.
№319. 
.
Ответ: 
.
Дополнительные задания
Найти интегралы:
№320. 
. Ответ: 
.
№321. 
. Ответ: 
.
№322. 
.
Ответ: 
.
№323. 
. Ответ: 
.
№324. 
.
Ответ: 
.
№325. 
. Ответ: 
.
№326. 
.
Ответ: 
.
№327. 
. Ответ: 
.
№328. 
. Ответ: 
.
№329. 
. Ответ: 
.
№330. 
. Ответ: 
.
№331. 
. Ответ: 
.
№332. 
. Ответ: 
.
№333. 
.
Ответ: 
.
№334. 
.
Ответ: 
.
№335. 
.
Ответ: 
.
№336. 
. Ответ: .
№337. 
. Ответ: 
.
№338. 
.
Указание. Замена 
.
Ответ: 
.
№339. 
.
Указание. Избавиться от иррациональности в знаменателе подынтегральной дроби.
Ответ: 
.
№340. 
.
Указание. Избавиться от иррациональности в знаменателе подынтегральной дроби.
Ответ: 
.
Примерный вариан решения
индивидуального домашнего задания
Найти интегралы:
№25. 
.
► = 
=
= 
= 
=
= 
= 
=32t-8sin 4t+C=
= 
=
= 
.◄
№26. 
.
► = 
=
= 
= 
= 
=
= 
= 
.◄
№36. 
.
► = 
=
= 
= 
=
= 
=
= 
.◄
№37. 
.
► = 
=
= 
= 
=
= 
=
= 
=
◄
Занятие 8
Обзорное
Цели
v Знать и уметь применять основные приёмы интегрирования.
Найти интегралы:
№341. 
. Ответ: 
.
№342. 
. Ответ: 
.
№343. 
. Ответ: 
.
№344. 
. Ответ: 
.
№345. 
.
Ответ: 
.
№346. 
. Ответ: 
.
№347. 
. Ответ: 
.
№348. 
. Ответ: 
.
№349. 
.
Ответ: 
.
№350. 
. Ответ: 
.
№351. 
. Ответ: 
.
№352. 
. Ответ: 
.
№353. 
. Ответ: 
.
№354. 
. Ответ: 
.
№355. 
. Ответ: 
.
№356. 
. Ответ: 
.
№357. 
.
Указание. Учесть, что 
.
Ответ: 
.
№358. 
. Ответ: 
.
№359. 
. Ответ: 
.
№360. 
. Ответ: 
.
Примерный вариант контрольной работы
Вариант 1
Найти интегралы:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Вариант 2
Найти интегралы:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Контрольные вопросы
1. Первообразная и её свойства
- Может ли функция иметь единственную первообразную на некотором промежутке?
- Пусть y=F1(x), y=F2(x) — первообразные функции y=f(x) на некотором промежутке. Какой вид имеет график функции y=F1 - F2?
- Может ли функция, график которой изображён на рисунке, являться первообразной некоторой функции?
- Будет ли функция
являться первообразной для функции 
на промежутке: а) 
; б) 
? - Верно ли утверждение:
а) графики любых двух первообразных можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ОХ;
б) графики любых двух первообразных можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ОY;
в) графики первообразных одной функции могут пересекаться;
г) графики первообразных одной фун<