Интегрирование тригонометрических функций

1)∫sin^n x dx ∫cos^n x dx

А)∫ от четных степеней sin или cos находят понижением стпени:

Б)∫ от не четных степеней sin и cos находят отделяя от одного множителя один множитель и заменяя кофункцию новой переменной.

2) Эти интегралы находятся по правилу а) где m и n - четные числа и по правилу б)

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

3) Интегралы вида ∫tg^m xdx и ∫ctg^m xdx находят заменой td или ctg новой переменной, используя формулы:tg^2 x=(1/cos^2 x)−1,ctg^2 x=(1/sin^2 x)−1.

4)∫(sin ax*cos bx)dx ∫(sin ax*sin ax*sin bx)dx ∫(cos ax*cos bx)dx находят путем разложения на слогаемые:

Sin ax+cos bx=1/2(sin(a+b)x+sin(a-b)x)

Sin ax+sin bx=1/2(cos(a-b)x-cos(a+b)x)

Cos ax+cos bx=1/2(cos(a-b)x+cos(a+b)x

41. Площадь кривол.трапеции.Опред.интеграл,его св-ва

Пусть ф-ия у=f(x) непрерывна на отрезке . 1) Разделим отрезок .на n частичных отрезков с длинами , 2) Выбираем в каждом по 1произ-ой точке. . 3) Вычислим значение ф-ии в этих точках f( ),f( ),…,f( ). 4) Составим сумму f( ) + f( ) + …+f( ) . = – интегральная сумма ф-ции f(x) на отрезке .

По разному деля отрезок на n частичных отрезков и по разному выбирая в них по одной точке, можно составить бесчисленное множество различных интегральных сумм для f(x) .

Но при неограниченном увеличении «n», т.е. и стремится к 0 наибольшей из длин частичного отрезка все эти суммы имеют 1 общий предел, т.е. все они стремятся к одному и тому же.

Общий предел всех этих интегральных сумм f(x) на - определенный интегралом от ф-ции f(x) пределов от a до b, и обозначается

Свойства: 1) При перестановке пределов изменяется знак интеграла.

2) Интеграл с одинаковым

3) Интеграл от алгеб. суммы ф-ции = алгеб.сумма слагаемых

4) Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

5) Постоянную можно вынести за знак опред.интеграла:

1. Криволинейная трапеция прилежит к оси Ох.

Если вся она расположенна над Ох,то ее [ ]

Если криволинейная трапеция расположена ниже Ох,то f(x)

и перед интегралом будет «-».

2. Криволинейная трапеция прилежит к оси Оу.

Если она расположена справа от оси Оу,то

Если слева,то (y) .

42. Интеграл с переменным верхним пределом, формала ньютона-Лейбница.

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f ( x ), тогда для любого x [ a, b ] существует функция:

задаваемая интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой части равенства.

На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.

Из определения интеграла с переменным верхним пределом - функции F(x) и известных свойств интеграла следует, что при x [ a, b ]

F' ( x ) = f ( x ) .

Для вычисления опред.интеграла служит ф-ла Ньютона-Лейбница:

Опред.интеграл равен разности значений первообразной на концах отрезка

Вопрос 43

Вычисление определенных интегралов:замена переменной,интегрирование по частям.