Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы типа Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Интегралы типа Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , где R — рациональная функция от Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru и Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , подстановкой Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru можно привести к интегралам от рациональных функций.

В самом деле, если:

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ,

тогда

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Пример 1. Вычислить интеграл Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Решение. Применяем универсальную подстановку

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , тогда Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ,

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Разложим дробь под интегралом на простые дроби:

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Отсюда

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Поэтому

J = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru =

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru =

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Пример 2. Вычислить интеграл Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Решение. Используем подстановку Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , тогда

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru =

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Если функция Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru нечетная относительно Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru или Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , т.е.

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

или Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ,

то можно использовать подстановку Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru или Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Пример 3.Вычислить интеграл Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Решение.

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru =

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru =

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru =

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Если функция четная относительно Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru и Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru одновременно, т.е.

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ,

то Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru можно привести к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Интегралы вида

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Для интегрирования произведения синусов и косинусов разных аргументов применяются тригонометрические формулы:

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Пример 4.

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru =

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Интегрирование четных степеней синусов и косинусов

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Здесь следует применять формулы понижения степени

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Пример 5.

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Пример 6.

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Пример 7.

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Интегрирование нечетных степеней синусов и косинусов

Интегрирование

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ,

где хотя бы один из показателей т и п – нечетный, (например, Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ) учитывая, что Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , имеем:

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ,

где целесообразной будет подстановка Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Пример 8.Вычислить интеграл Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Решение.

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Применяя подстановку Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , имеем:

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Пример 9.Вычислить интеграл Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Решение.

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Применяя подстановки

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ,

имеем

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Интегрирование целых степеней тангенса и котангенса

Для интегрирования целых степеней тангенса и котангенса применяются формулы:

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru ; Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Пример 10.Вычислить интеграл Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Решение.

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru =

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru =

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru = Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru =

= Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Интегрирование иррациональных функций

При интегрировании выражений, которые содержат дробные степени переменной интегрирования (т.е. иррациональности), методом подстановки сводят подинтегральную функцию к рациональной дроби. Рассмотрим несколько случаев.

Интегрирование иррациональных выражений методом подстановки

Подинтегральная функция является рациональной дробью относительно Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , где Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru – дробное число. В этом случае вводят новую
переменную Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , где Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru – общий знаменатель дробных показателей степени переменной х.

Пример 1.Найти интеграл Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Решение. Имеем: Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Общий знаменатель дробных показателей степеней Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru переменной х равняется 12. Поэтому сделаем подстановку Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru и получим:

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Интегрирование выражений, содержащих дробные степени линейного двучлена

Подинтегральное выражение содержит дробные степени линейного двучлена Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru . В этом случае целесообразно сделать подстановку Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , где q – общий знаменатель дробных показателей степеней двучлена.

Пример 2.Найти интеграл Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Решение. Пусть Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru , Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Поэтому

Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru Интегрирование тригонометрических функций - student2.ru .

Наши рекомендации