Задачи для самостоятельного решения.

2.1.Найти матрицы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , если

, .

2.2.Найти матрицы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , если

, .

2.3.Найти произведения и матриц и , если

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , .

2.4.Даны матрицы

Какие из произведений определены? Найти их.

2.5.Даны матрицы

Определены ли произведения ?Если да, то найти их.

2.6.Дана матрица . Найти , если и

1) ; 2) ; 3) .

2.7.Дана матрица А. Найти , если .

1) ; 2) ; 3) .

2.8.Найти матрицы:

;

, если

.

2.9.Вычислить определители:

.

2.10.Вычислить определители:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

2.11.Вычислить определители:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

2.12.Дана матрица . Найти обратную матрицу. Выполнить проверку, если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

2.13.Найти обратную матрицу для матрицы . Сделать проверку.

1) ; 2) ; 3) .

2.14.Решить матричные уравнения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) .

2.15.Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2.16.Матрицы и называются перестановочными, если . Найти все матрицы перестановочные с матрицей , если

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2.17.Найти ранг матриц методом окаймления миноров:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

2.18.При помощи элементарных преобразований найти ранг матриц:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Тема 2.2 системы линейных уравнений

Системой линейных уравнений с неизвестными называется система вида

(2.11)

Система уравнений (2.11) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений больше одного.

Множество всех решений системы (2.11) называется ее общим решением. Решить систему – значит найти ее общее решение.

Две системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одинаковые множества решений или обе несовместны.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются такие преобразования:

перестановка уравнений;

умножение обеих частей уравнения на одно и тоже число, не равное нулю;

прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и тоже произвольное число;

удаление (вычеркивание) из системы тривиального уравнения вида .

В результате элементарных преобразований получаем систему, эквивалентную исходной.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.

Рассмотрим матрицы

, , (2.12)

где – матрица коэффициентов системы (или матрица системы)

– матрица (вектор – столбец) неизвестных переменных;

– матрица (вектор – столбец) свободных членов.

Тогда систему (2.11) можно записать так:

. (2.13)

Уравнение (2.13) называется матричной формой записи системы линейных уравнений (2.11).

Матрица вида

(2.14)

называется расширенной матрицей системы.

Исследование совместимости систем