Проверка теоретических знаний. Занятие 2. Уравнения с разделяющимися переменными

Занятие 2. Уравнения с разделяющимися переменными

Цель занятия - развитие у обучающихся личностных качеств, а также направлено на овладение следующими общекультурными компетенциями:

· способностью применять знания на практике;

· способностью приобретать новые знания, используя современные образовательные технологии;

· способностью к анализу и синтезу;

профессиональными компетенциями:

1) в сференаучно-исследовательской деятельности:

· умением понять поставленную задачу;

· глубоким пониманием сути точности фундаментального знания;

· владением проблемно-задачной формой представления математических знаний;

2) в сфере проектной и производственно-технологической деятельности:

· способностью осуществлять целенаправленный поиск информации о научных и технологических достижениях в различных источниках;

· способностью формировать суждения о значении своей профессиональной деятельности;

Проверка теоретических знаний

1. Какой вид имеет уравнение с разделяющимися переменными.

(Уравнение , где h(y) отлична от нуля всюду на области В, g(x) - определена и непрерывна в В называется уравнением с разделяющимися переменными.)

2. Как производится замена производной на дифференциалы.

3. Разделите переменные в уравнении .

(Деля обе части на h(y) и умножая на dx, получим равенство двух дифференциалов )

4. Если в уравнении g(х) разрывна в некоторой точке х = x и обращается в бесконечность именно в этой точке, а во всех других точках заданной области непрерывна, то, какое решение будет в точке (x, у).

(Общее решение соответствует каждой точке множества , а в точках (x, у) решение определяется из перевернутого уравнения , т.е. х=x, и присоединяется к решению уравнения, как частное).

5. В каком случае присоединенное решение оказывается особым.

(Если в каждой точке этого решения нарушается принцип единственности, то такое решение – особое, если единственность сохраняется во всех точках этого решения, то оно является частным.)

6. Сформулируйте теорему из курса математического анализа о равенстве дифференциалов.

(Если выполняется равенство дифференциалов, то их неопределенные интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым)

7. Если уравнение записано в виде то какая из переменных является функцией.

(Уравнение допускает выбор в качестве неизвестной функции как у, так и х)

8. Какие ограничения необходимо наложить на функции .

( - непрерывны и отличны от нуля всюду на области В, - определены и непрерывны в В)

9. Проведите разделение переменных в этом уравнении.

(Общий интеграл уравнения имеет вид )

Практические задания

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение: Интегрируем его для у ¹ 3

.

Его решение представляет собой функцию

.

Прямая у = 3 - частное решение. С учетом проведенных рассуждений общее решение можно переписать в виде

Ответ: , у = 3.

Пример 2. Найти все решения уравнения .

Решение: При , правая часть определена и непрерывна, поэтому формула

дает общее решение. Прямые является решением перевернутого уравнения

причем частным решением и асимптотами общего решения исходного уравнения.

Ответ: , .