Дифференциальные уравнения фильтрации

Основные понятия и определения

Фильтрацией называется движение жидкостей, газов, их смесей в пористых и трещиноватых средах, то есть в твердых телах, пронизанных системой сообщающихся между собой пор и микротрещин. Фильтрация жидкостей и газов по сравнению с движением в трубах и каналах обладает некоторыми специфическими особенностями: происходит по чрезвычайно малым в поперечных размерах поровым каналам при очень малых скоростях движения жидкостей; силы трения при движении жидкости в пористой среде очень велики, так как площади соприкосновения жидкости с твердыми частицами огромны.

Коэффициентом пористости m называется отношение объема пор в образце V_пор к объему образца V:

Дифференциальные уравнения фильтрации - student2.ru

(1.1)

Под пористостью понимается активная пористость, которая учитывает только те поры и микротрещины, которые соединены между собой и через которые может фильтроваться жидкость.

Коэффициентом просветности n называется отношение площади просветов w_пр в данном сечении пористой среды ко всей площади этого сечения w:

(1.2)

Площадь просветов различна в различных поперечных сечениях w_пр(х). Среднее значение просветности по длине образца равно пористости:

(1.3)

Поперечным сечением w называется поверхность, проведенная перпендикулярно направлению скорости.

Объемным расходом Q называется объем жидкости, прошедший через поперечное сечение за единицу времени:

(1.4)

Массовым расходом Q_m называется масса жидкости, прошедшая через поперечное сечение за единицу времени:

(1.5)

Массовый расход равен произведению плотности r на объемный расход:

(1.6)

Скоростью фильтрации u называется отношение объемного расхода жидкости к площади поперечного сечения:

(1.7)

Скорость фильтрации ‑ это скорость, с которой двигалась бы жидкость, если бы пористая среда отсутствовала (m = 1).

В действительности фильтрация жидкости или газа происходит по просветам, поэтому действительная скорость v больше скорости фильтрации и определяется:

(1.8)

При плоскопараллельном потоке векторы скоростей параллельны друг другу, поэтому фильтрация происходит только вдоль одной оси, которую можно принять за ось x. В любом поперечном сечения плоскопараллельного потока давление, скорость и её направление одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией координаты этой оси p(x), u(x). Плоскопараллельное движение имеет место в двух следующих случаях.

1. В лабораторных условиях при фильтрации через цилиндрический керн, или в трубе диаметром D, заполненной пористой средой (рисунок 1.1). Площадь поперечного сечения представляет собой площадь круга и равна:

(1.9)

2. На некоторых участках продуктивного пласта, которые можно представить в виде параллелепипеда, верхние и нижние грани (кровля и подошва пласта), а также ближняя и дальняя грань ‑ непроницаемы для жидкости. Во всех точках левой грани поддерживается постоянное давление p_к, а во всех точках правой грани поддерживается постоянное давление p_г. Расстояние между кровлей и подошвой пласта называется толщиной пласта и обозначается h. Расстояние между ближней и дальней гранью называется шириной и обозначается B. Расстояние между левой и правой гранью называется длиной и обозначается L. Этот случай плоскопараллельного движения часто называют галереей, а величины h, B и L называют толщиной, шириной и длиной галереи.

Модель пласта

Галерея

Рисунок 1.1 ‑ Плоскопараллельный поток

Площадь поперечного сечения галереи равна:

(1.10)

При плоскорадиальном потоке в любой горизонтальной плоскости продолжения векторов скоростей сходятся (или расходятся) в одной точке (рисунок 1.2). На практике плоскорадиальной поток встречается в случае вскрытия горизонтального пласта вертикальной скважиной с круговым контуром питания. Если вскрыт весь пласт и приток происходит по всей боковой поверхности скважины, то скважина называется гидродинамически совершенной. Расстояние от оси скважины до какой – либо точки пласта называется радиусом r. Площадь поперечного сечения представляет собой боковую поверхность цилиндра, высота которого равна толщине пласта h, а радиус – расстоянию от центра скважины до данной точки пласта:

(1.11)

В любом поперечном сечении этого потока давление и скорость одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией радиуса p(r), u(r).

Рисунок 1.2 – Плоскорадиальный поток

При радиально-сферическом потоке продолжения векторов скоростей в пространстве сходятся (или расходятся) в одной точке (рисунок 1.3). Расстояние от этой точки, которую называют источником или стоком, до любой точки пласта называется радиусом r. Площадь поперечного сечения представляет собой поверхность сферы радиусом r:

(1.12)

Рисунок 1.3 – Радиально-сферический поток Дифференциальные уравнения фильтрации - student2.ru

На практике радиально–сферическийпоток встречается в случае вскрытия скважиной кровли пласта бесконечно большой толщины скважиной с полусферическим контуром питания.

В общем случае давления и скорости фильтрации зависят от координаты точки и времени:

(1.13)

Движение называется установившимся (стационарным), если в любой точке пласта давления и скорости фильтрации не зависят от времени. В противном случае движение называется неустановившимся (нестационарным).

Закон Дарси

Движение однородной жидкости в пористой среде определяется силами давления и силами тяжести. Основное соотношение теории фильтрации – закон Дарси – устанавливает связь между величиной скорости фильтрации вдоль линии тока и силами, действующими в жидкости.

Рассмотрим вывод закона Дарси на примере схемы опытной установки (рисунок 1.4). Пусть по трубе, диаметром D и длиной L, заполненной пористой средой, фильтруется жидкость со скоростью u. Выберем два поперечных сечения: 1 и 2. Центры тяжести поперечных сечений расположены на высотах z₁ и z₂. Давление p₁ и p₂ в сечениях замеряем пьезометрами. Как и в трубной гидравлике запишем уравнение Бернулли для этих сечений:

(1.14)

где Дифференциальные уравнения фильтрации - student2.ru – гидродинамический напор;

h₁₂ = h(u) – потери напора между сечениями, которые зависят от скорости фильтрации и не могут рассчитываться по формулам трубной гидравлики.

Скорости фильтрации жидкости в пористой среде малы, поэтому скоростным напором можно пренебречь. Разрешая уравнение (1.14) относительно скорости фильтрации, получим:

(1.15)

Рассмотрим зависимость скорости фильтрации от расстояния между сечениями и площади поперечного сечения. При прочих равных условиях с увеличением расстояния увеличиваются сопротивления движению жидкости и скорость фильтрации должна уменьшатся. Наиболее простая зависимость – обратно пропорциональная u ~ 1/L.

Предположим, что скорость фильтрации зависит от площади поперечного сечения, тогда во всем образце она будет одиаковая. Проделаем мысленный эксперимент. Разделим поперечное сечение пополам и рассмотрим одну половину. Площадь поперечного сечения изменилась, значит должна измениться и скорость, но в одном и том же реальном образце не могут быть две различные скорости фильтрации. Поэтому наше предположение не верно, и скорость фильтрации не зависит от площади. Кроме того, скорость фильтрации зависит от свойств фильтрующейся жидкости и свойств пористой среды. Учтем эти свойства коэффициентом фильтрации – k_ф.

Рисунок 1.4 – Схема опытной установки

Тогда формула (1.15) запишется так:

(1.16)

Эта формула впервые была экспериментально получена французским инженером Дарси и подтверждается для многих жидкостей и газов в широких пределах изменения скоростей. Но для некоторых жидкостей и значений скоростей фильтрации эта формула не подтверждается. Коэффициент фильтрации k_ф используется в тех случаях, когда фильтруется вода. При фильтрации нефти, газа, воды, их смесей желательно учитывать свойства породы и жидкости отдельно. Свойства жидкости характеризуются коэффициентом динамической вязкости μ и плотностью r, тогда коэффициент фильтрации можно записать в виде:

(1.17)

где k – коэффициент проницаемости пористой среды, м²;

m – коэффициент динамической вязкости жидкости, Па×с;

r – плотность жидкости, кг/м³;

g – ускорение свободного падения, м/с².

Коэффициент проницаемости зависит только от свойств пористой среды и определяет способность пористой среды пропускать сквозь себя жидкости и газы. Коэффициент проницаемости имеет размерность площади (в СИ [k] = м² = 10 ¹² мкм²) и качественно представляет собой площадь поперечного сечения отдельного капилляра, поэтому проницаемость горных пород очень мала.

Например: проницаемость крупнозернистых песчаников, а таких нефтяных или газовых пластов составляет 10^-12 – 10^-15 м². На практике до сих пор проницаемость измеряется устаревшими единицами, называемыми Дарси (Д или Дарси). С введением системы единиц СИ использовать эту единицу запрещено. Для перевода в систему СИ используется соотношение 1 Дарси = 1,02 10^-12 м² = 1,02 мкм².

Коэффициент динамической вязкости жидкости зависит только от свойств жидкости и имеет размерность: Па×с = кг/м×с. Для большинства реальных жидкостей 1 Па×с величина большая, поэтому используется более мелкая единица 1 мПа×с = 10^-3 Па×с.

Вязкость воды при температуре 20 С° равна 1 мПа×с. Вязкость нефти в пластовых условиях меняется в очень широком диапазоне: она может быть меньше вязкости воды при температуре 20 С°, а может быть в десятки или сотни раз больше. Вязкость Ярегской нефти равна 5000 мПа×с, а вязкость нефти пермокарбоновой залежи Усинского месторождения = 10000 мПа×с. Вязкость нефти очень сильно зависит от температуры. В среднем при её увеличении на 10 С° вязкость уменьшается в два раза. Это является основой при использовании тепловых методов разработки месторождений. Вязкость газов зависит от состава газа и ориентировочно равна 0,02 мПа×с.

С введение коэффициента проницаемости закон Дарси примет вид:

(1.18)

где p* = p + r g z – приведенное давление.

Расстояния z от плоскости сравнения до данной точки считается положительным, если точка лежит выше плоскости сравнения, и отрицательной, если ниже. За плоскость сравнения можно принять любую горизонтальную плоскость. Обычно принимают границу газонефтяного (ГНК) или водонефтяного (ВНК) контакта. При движении жидкости в горизонтальных пластах (z = const), значит, второе слагаемое в приведенном давлении постоянно и при подстановке в формулу обращается в нуль. Поэтому в горизонтальных пластах при движении однородной жидкости приведенное давление можно положить равным давлению в данной точке и символ (*) в законе Дарси можно опустить.

Рассмотрим трубку тока, вдоль которой происходит фильтрация жидкости. Обозначим расстояние вдоль вектора скорости у этой трубки через s. Выберем две точки на расстоянии Ds друг от друга и запишем для этих точек закон Дарси:

(1.19)

Получим значение средней скорости на этом участке u_ср. Если устремить расстояние между точками к нулю, то получим закон Дарси в дифференциальной форме:

(1.20)

В векторной форме закон Дарси запишется:

(1.21)

или в проекциях на оси координат

(1.22)

На практике проницаемость по вертикали в 2 – 10 раз меньше чем по горизонтали. Такая пористая среда называется анизотропной и закон Дарси в этом случае имеет вид:

(1.23)

Для плоскорадиального и радиально–сферического потока Закон Дарси можно записать в виде:

(1.24)

В пластах часто встречаются непроницаемые границы (сбросы). Жидкость двигаться перпендикулярно непроницаемой границе не может, поэтому нормальная к границе скорость равна нулю.

Тогда из закона Дарси следует: