Уравнение прямой в отрезках.
Элементы аналитической геометрии
Расстояние между точками.
Пусть на плоскости заданы точки и . Из треугольника АВС:
.
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть даны две точки: и . Найдем на отрезке М1М2 точку , которая делила бы этот отрезок в отношении .
По теореме о пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла: . Тогда:
, , .
, , .
В частности, для , получим координаты середины отрезка:
, .
Общее уравнение прямой.
Всякое невырожденное уравнение первой степени с двумя переменными задает на плоскости прямую. Обратно: всякая прямая на плоскости может быть описана некоторым уравнением первой степени с двумя переменными:
- общее уравнение прямой.
- условие невырожденности.
- вектор нормали прямой.
Отметим некоторые частные случаи расположения прямой на плоскости.
С=0, Ах+Ву=0 – прямая проходит через начало координат.
А=0, Ву+С=0 - прямая параллельна оси Ох.
В=0, Ах+С=0 - прямая параллельна оси Оу.
А=С=0, Ву=0 – прямая совпадает с осью Ох.
В=С=0, Ах=0 – прямая совпадает с осью Оу.
Расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнением , определяется по формуле:
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть некоторая прямая составляет с положительным направлением оси Ох угол и отсекает на оси Оу отрезок . Составим уравнение этой прямой. Для этого возьмем произвольную точку , лежащую на прямой и найдем уравнение, связывающее ее координаты х и у.
Из треугольника BMN: , , . Подставляя в равенство , получим:
.
Заметим, что этот вид уравнения прямой легко получить из общего: , , .
Тогда , .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Пусть прямая проходит через точку и образует с осью Ох угол . Составим уравнение прямой. Будем искать уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом: , где . Возьмем произвольно точку на прямой и определим связь между ее координатами. Т.к. точки лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой: , . Вычитая, получим: .
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки: и . Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки. Из треугольника М1М2М: , - угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки. Подставим это соотношение в уравнение прямой, проходящей через данную точку М1 в данном направлении к: ,
Если данные точки имеют одинаковые абсциссы или одинаковые ординаты, то последнее соотношение используют в виде: .
Уравнение прямой в отрезках.
Предположим, что прямая отсекает на осях координат отрезки a и b единиц соответственно. Составим уравнение этой прямой, используя тот факт, что она проходит через точки и :
, ,
.