Уравнение прямой в отрезках по осям

Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru

Пусть прямая пересекает оси Ox и Oy соответственно в точках A и B (рисунок 2.3). Пусть A(a, 0) и B(0, b). Из уравнения (2.5) имеем

Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru = Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru , Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru + Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru = 1.

Рисунок 2.3
Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru Уравнение Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru + Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru = 1 (2.6)

называется уравнением прямой в отрезках на осях координат.

Заметим, что прямые, параллельные координатным осям, и прямые, проходящие через начало координат, не могут быть записаны уравнением этого вида.

Рисунок 2.4
2.3 Угол между прямыми на плоскости

Рассмотрим на плоскости две прямые R1: y = k1x + b1 и R2 : y = k2x + b2 с углами наклона к оси Ox соответственно φ1 и φ2 (рисунок 2.4).

Определение 2.2. Углом между прямымиR1 и R2 будем называть меньший из смежных углов, образованных этими пересекающимися прямыми.

На рисунке 2.4 таким является угол φ. Очевидно, что 0 ≤ φ ≤ Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru . Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами φ1, φ2 и φ : φ = φ2 – φ1. Возможны два случая:

1) угол φ = Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru , т. е. прямые R1 и R2 перпендикулярны;

2) 0 ≤ φ < Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru . Тогда tg φ = tg (φ2 – φ1) = Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru = Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru .

Формула tg φ = Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru , где Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru (2.7)

позволяет вычислить угол между не перпендикулярными прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых па плоскости

1) Если прямые R1 и R2 параллельны, то φ = 0. Тогда tg φ = 0 и из формулы (2.7) имеем k2 – k1 = 0 или k2 = k1. Таким образом, условием параллельности двух прямых на плоскости является равенство их угловых коэффициентов.

2) Если прямые R1 и R2 перпендикулярны, то φ = Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru . Так как φ = φ2 – φ1 , то

φ2 = Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru + φ1 и tg φ2 = tg( Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru + φ1) = ctg φ1 = – Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru , т. е.

k2 = – Уравнение прямой в отрезках по осям - student2.ru . (2.8)

Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется уравнением линии на плоскости хОу?

2. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?

3. Какой знак имеет угловой коэффициент прямой, образующей с положительным направлением оси Ох острый угол? тупой угол?

4. Какой вид имеет уравнение прямой в отрезках наосях?

5. Напишите уравнение прямой в общем виде. Как найти угловой коэффициент этой прямой?

6. Как расположена в плоскости хОу прямая, уравнение которой Ах + Ву = 0; Ах + С = 0; Ах = 0; Ву = 0 (коэффициенты А, В, С отличны от нуля)?

7. Как найти точку пересечения двух прямых?

8. Как убедиться в том, что данная точка принадлежит данной прямой?

9. Как построить прямую, заданную соответствующим уравнением?

10. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей соответствующий угловой коэффициент?

11. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две данные точки?

12. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми на плоскости.

13. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Наши рекомендации