Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и

Даны две плоскости в отрезках Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . При пересечении этих плоскостей образуется прямая Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , т. е.

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Решая эту систему, определим уравнение прямой в отрезках (рис. 4)

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (2)

Вывод !!!

Очевидно, что как для плоскости, так и для прямой, проходящей через начало координат, уравнение в отрезках записать нельзя.

ПРИМЕР 1.

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Перейдем к уравнению в отрезках Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru (рис.5).

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Обозначим Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ox, Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – угловой коэффициент прямой l, b – отрезок OB, отсекаемый на оси Oy, точка B(0,b) (рис. 6).

Эта точка и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru определяют единственную кривую на плоскости. Возьмем некоторую текущую точку Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – текущие координаты. Из Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru определим Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . То есть Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , откуда получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (3)

3.1. Переход от общего уравнения прямой к уравнению

с угловым коэффициентом

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Разрешим уравнение (1) относительно y. Получим Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , где Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru имеют смысл лишь при Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Вывод!!!

Уравнение прямой с угловым коэффициентом можно записать только для прямой не параллельной оси Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

4. Уравнение прямой,

проходящей через заданную точку в заданном направлении

Дано: Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – угловой коэффициент к прямой l. Составим уравнение этой прямой. В уравнении Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru неизвестно b. Поскольку точка Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , то ее координаты удовлетворяют уравнению Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , откуда получим

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (4)

Тогда уравнение прямой будет иметь вид Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , откуда

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (5)

ПРИМЕР 2.

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Даны точка Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и угол падения луча Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Составить уравнение падающего и отраженного лучей. Изобразим это на рис. 7. Обозначим прямую падающего луча Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , а отраженного – Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Для уравнения Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru используем (5): Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru или Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Определим точку пересечения этой прямой с осью Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru : Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru или Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , откуда Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . То есть точка Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Определим для прямой Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru угловой коэффициент Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Тогда уравнение (5) будет иметь вид Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru или Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

5. Уравнение прямой,

проходящей через две заданные точки

В плоскости Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru даны две точки Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Запишем (5) для точки Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (6)

Поскольку обе точки лежат на одной прямой, то точка Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru также удовлетворяет (6) Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , откуда

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (7)

Тогда прямая (5) с заданным коэффициентом (7), проходящая через точку Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , будет иметь вид

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Разделим обе части равенства на Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и получим уравнение прямой в плоскости, проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (8)

6. Угол между двумя прямыми на плоскости

Даны две прямые Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru (рис. 8). Обозначим Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – угловые коэффициенты этих прямых. Обозначим через Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – угол между этими прямыми. В треугольнике Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru угол Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – внешний, поэтому Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , откуда Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Тогда

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (9)

6.1. Условие перпендикулярности прямых

Или Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru не существует, следовательно в (9) знаменатель Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , откуда Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru или Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , или Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

6.2. Условие параллельности прямых

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , следовательно, в (9) числитель Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , откуда Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru или Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

ПРИМЕР 3.

Даны точки Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Найти уравнение медианы Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и высоты Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Точка D находится посередине отрезка BC, поэтому ее координаты Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , а уравнение медианы

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru или Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – прямая, параллельная оси Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Для определения уравнения высоты определим ее угловой коэффициент через Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Но Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , тогда Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Окончательно уравнение высоты: Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Для Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru имеем Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru или Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Заключение

В лекции закончено рассмотрение уравнений первого порядка, которые описывают либо плоскость в пространстве, либо прямую на плоскости. Важно запомнить основные уравнения прямой на плоскости и правила перехода между ними. Это пригодится в дальнейшем при изучении темы «Функциональный анализ» и др. Для простоты запоминания рекомендуем обратить внимание на общность подходов при построении уравнений плоскости и прямой. В последующей лекции рассмотрим общие уравнения второго порядка. Отметим следующее:

- прямая на плоскости описывается уравнением первого порядка;

- если прямая проходит через начало координат, то уравнение в отрезках записать нельзя;

- уравнение прямой в отрезках аналогично уравнению плоскости в отрезках;

- угловой коэффициент прямой – это тангенс угла ее наклона относительно оси абсцисс;

- параметр b определяется отрезком, отсекаемым прямой по оси ординат;

- положение прямых и углы между ними определяются их угловыми коэффициентами;

- условие параллельности и перпендикулярности прямых аналогичны этим же условиям для плоскостей.

Литература

1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998.

Лекция 14

Кривые второго порядка

Линия и ее уравнения

Окружность и ее уравнения

Эллипс

4. Исследование формы и расположения эллипса по его каноническому виду

Цели занятия:изучить понятие кривых второго порядка; расширить школьные знания об окружности; изучить правила построения и свойства эллипса; научиться приводить кривые второго порядка из общего в канонический вид.

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Роль и место лекции

Общие сведения о понятиях окружности и эллипса известны из школьного курса математики. Многие процессы в окружающем мире подчинены уравнениям этих кривых (например, вращение планет). Однако уравнение окружности было введено только в каноническом или явном виде, а уравнение эллипса не изучалось. В лекции представлены общее и каноническое уравнения эллипса и окружности, полученные на основе классических определений. Более широко эти вопросы будут рассмотрены в теме «Квадратичные формы».

Линия и ее уравнение

Определение 1

Геометрическое место точек – это совокупность точек, обладающих общим свойством. Общее свойство точек линии выражается уравнением линии.

Определение 2

Уравнением линии называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой прямой.

В Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru уравнение функционально имеет вид Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .Алгебраическое уравнение первого порядка относительно x и y (см. лекцию 13)

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru

– это прямая линия на плоскости Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Кривыми второго порядка называют линии, которым соответствует алгебраические уравнения второго порядка:

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , (1)

т. е. окружности, эллипсы, гиперболы, параболы.

Окружность и ее уравнения

Определение 3.

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.

Построим уравнение окружности. Для этого, согласно определению, зададимся центром окружности Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и R – радиусом окружности L (рис.1). Возьмем произвольную точку M(x, y), которая по определению должна принадлежать окружности, следовательно, согласно определению, удовлетворять соотношению

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (2)

Запишем это выражение в координатах

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Окончательно получим уравнение окружности в каноническом виде

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (3)

2.1. Исследование окружности

1. Если Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , то выражение (3) примет вид Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

2. Если Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , то выражение (3) примет вид Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

3. Если Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , то выражение (3) примет вид Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Приведем уравнение (3) к общему виду (1). Для этого раскроем скобки и умножим обе части равенства на число Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Введем обозначения: Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru ; Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru ; Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Подставим эти обозначения и получим уравнение окружности в общем виде

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (4)

Признаки окружности:

- коэффициенты при квадратах текущих координат равны;

- отсутствует член, содержащий произведение текущих координат « Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru ».

2.2. Последовательность перехода от общего

к каноническому виду

Для этого разделим все члены уравнения на коэффициент при Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и выделим полные квадраты с x и y.

ПРИМЕР 1.

Задано уравнение второго порядка: Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Построить кривую согласно.

Решение.

Поскольку коэффициенты при квадратах одинаковы (=4) и отсутствует член Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , то можно сказать, что это окружность.

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru

Это окружность (рис. 2) с радиусом R=4 и центром в точке C(1, -1.5).

Эллипс

Определение 4.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Зададим в декартовой системе координат фокусы F1и F2(рис. 3). Возьмем произвольную точку M(x, y), которая по определению должна принадлежать эллипсу. Проведем отрезки F1M и F2M (рис. 3). Согласно определению рассмотрим сумму этих отрезков

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , (5)

где Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – некоторое число.

Обозначим Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , тогда из Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru или Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Фокусы имеют координаты Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , причем Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – эллипс. Представим выражение (1) в координатах:

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Перенесем второе слагаемое в правую часть и возведем обе части равенства в квадрат:

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Возведем обе части равенства в квадрат:

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru ,

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Перенесем слагаемые с x и y в правую часть, остальные – в левую. Вынесем за скобки x2и a2:

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (6)

Отметим, что Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Обозначим Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Запишем выражение (6) через введенные обозначения

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (7)

Выражение (7) есть уравнение эллипса в каноническом виде.

4. Исследование формы и расположения эллипса

по его каноническому виду

Рассмотрим выражение (7) и заметим следующее.

1. Так как текущие координаты входят в уравнение только в квадратах, то эллипс симметричен относительно осей координат – осей симметрии.

Если Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , то Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Начало координат – центр симметрии. Плоскость, в которой лежат фокусы эллипса, называется фокальной плоскостью.

2. Эллипс L (7) пересекается с осями координат.

a) Пересечение с осью Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Из выражения (7) => Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . То есть точки Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Эти точки – вершины эллипса. Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – большая ось эллипса. Отметим эти точки на оси Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru (рис. 4).

б) Пересечение с осью Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Из выражения (7) => Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . То есть, точки Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . Две точки Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – также вершины эллипса. Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru – малая ось эллипса. Отметим эти точки на оси Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru (рис. 4).

3. Из уравнения (7) найдем y

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (8)

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Для I четверти выражение (8) имеет вид Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . При увеличении x от 0 до a (при x=a y=0) значение y уменьшается от b до 0. Поскольку эллипс симметричен относительно начала координат, то аналогичным образом, сохраняя симметрию, эллипс будет вести себя в остальных четвертях плоскости.

Замечания !!!

1. В частности, при Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru из (7) имеем Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru (окружность – частный случай эллипса).

2. Если центр эллипса лежит не в начале координат, а в точке Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , то уравнение эллипса примет вид

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (9)

Определение 5.

Эксцентриситетом называется величина, равная отношению расстояния между фокусами к длине большой оси.

Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru , Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru . (10)

Чем ближе эксцентриситет к 0 ( Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru ), тем более округлую форму эллипс имеет, и наоборот, чем ближе эксцентриситет к 1 ( Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru ), тем эллипс более вытянут вдоль оси Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Замечание !!!

Последовательность перехода от общего к каноническому виду для эллипса аналогична последовательности перехода для окружности. Для этого вынесем за скобки коэффициент при Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и выделим полный квадрат с x . Также вынесем за скобки коэффициент при Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru и выделим полный квадрат с y.

Заключение

В лекции изучены понятия «окружность» и «эллипс» в общем виде, показано, как строить графики этих функций. По общему виду уравнения второго порядка можно судить о виде кривой. Отметим:

- параметры R, a и b в выражении (3) определяют соответственно радиус и координаты центра окружности;

- от уравнения общего вида к каноническому переходят путем выделения полных квадратов;

- эксцентриситет эллипса Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru ;

- эксцентриситет эллипса определяет его вытянутость;

- окружность – частный случай эллипса;

- фокусы эллипса могут быть найдены из выражения Уравнение прямой в отрезках. Даны две плоскости в отрезках и - student2.ru .

Литература

1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998.

Лекция 15

Кривые второго порядка

Гипербола

Наши рекомендации