Продольные колебания стержней.
Основное уравнение и его решение
Пусть u – продольное перемещение текущего сечения стержня при колебаниях, оно зависит от местоположения сечения (координата х) и от времени t, u = u(х, t).
Перемещение близкого сечения равно , абсолютное удлинение элемента dx равно , относительное удлинение .
Тогда слева справа
Масса элемента dx будет и в проекции на ось х уравнение движения принимает вид
=
Считая, что F = const и т.к. то подставляя
=
Принимаем подставляя
отсюда два уравнения
Т = ;
Частотное уравнение, определяющее величину Р, составляется путем использования граничных условий и имеет бесконечное число корней, следовательно и число собственных частот Рn каждой соответствует своя Тn (t) и своя функция Хn (х).
Полное решение получается путем наложения всех частных решений
Х = 0
Х' = 0
с0 ·Х = Е·F·X'
m0·p2·X = Е·F·X'
Пример определим собственные частоты консольного стержня
Граничные условия
Х = 0 при х = 0; Х' = 0 при x = l
D = 0; ;
- частотное уравнение
Корни
при n = 1
n = 2
7.4.2. Вынужденные колебания
Линейные системы с одной степенью свободы без неупругих сопротивлений
Рассмотрим одномассовую систему под действием внешней силы P(t) и силы упругого сопротивления сх (рис.7. ).
рис. 7.
уравнение движения
- стандартное уравнение вынужденных колебаний
Решение полученного неоднородного уравнения следует искать в виде суммы решений соответствующего уравнения без правой части (свободные) колебания и какого-либо частного решения заданного уравнения.
Воспользуемся общим методом вариации произвольных постоянных.
Пусть постоянные С1 и С2 в решении однородного уравнения зависят от t.
Запишем систему
из системы
интегрируя
В1, В2 – константы
Общее решение задачи запишется
Если
|
|
Если то
Интегрируя по частям
и принимая с = , получим
Кинематическое возбуждение
Причиной колебаний служат заданные колебания точки крепления пружины и основанию по закону .
тогда можно принять и получаем стандартную форму записи.
Решение
при f(0) = 0
Действие линейно возрастающей силы
Полагая получим из предыдущей
График движения есть сумма синусоидальной и линейной функции.
Чем больше а, тем существеннее синусоидальные колебания.
Колебания подрессоренного груза
Z – профиль дороги; h – высота профиля; γ – параметр кривизны дороги.
Пусть при опора проходит начало неровности - закон движения опорной точки.
по предыдущем
закон движения груза
Колебания груза относительно опорной точки
интегрируя, получим
при ; и
при или и