Гармонические колебания. Колебания математического маятника. Колебания физического маятника.

Довольно распространенный тип движения механических систем представляют собой так называемые малые колебания,которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Мы рассмотрим эти движения в наиболее простом случае, когда система имеет всего лишь одну степень свободы. Это значит, что для однозначного определения положения системы в пространстве достаточно задать всего одно число. Это не обязательно должна быть декартова координата, а в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор какой-то другой величины. Такая величина, однозначно характеризующая положение системы, называется ее обобщенной координатой.

Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия U(q) как функция некотоpой обобщенной координаты q имеет минимум. Отклонения от этого минимума приводят к возникновению силы −dU/dq, стремящейся вернуть систему обратно. Обозначим соответствующее минимуму значение координаты q через q0. Считая, что U(q0) = 0, и вводя обозначение

х = q − q₀, (10.1)

получим

U(x) =kx²/2 (10.2)

Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы есть квадратичная функция обобщенной скоростиq’и в общем случае имеет вид

В том же приближении малых колебаний, которое мы использовали ранее, достаточно заменить функцию a(q) на ее значение при q=q₀. Вводя для краткости обозначение a(q₀) = m, получим окончательно для полной энергии системы выражение

(10.3)

то есть выражение, формально совпадающее с энергией механической системы "грузик+пружинка". В механике доказывается теорема, что если выражение для полной энергии двух систем как функция их обобщенных координаты и скорости совпадают, то совпадают и уравнения их движения.

Уравнение движения гpузика, как известно, имеет вид ma = F, где возвращающая сила F = −kx,

или

тх’’+кх = 0 (та = -кх).

Сокращая на m, его можно переписать в виде

x’’+w²x=0 (10.4)

где .

Дифференциальное уравнение х’’+w²х = 0 является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, оно имеет двалинейно независимых решения. В данном конкретном случае легко проверить, что это функции

sin wt и cos wt.

Общее решение представляет собой линейную комбинацию этих двух решений:

х = c₁cos ωt + c₂ sin ωt, (10.5)

где c₁ и c₂ — произвольные постоянные. Это выражение можно переписать в виде

х = Аcos (ωt + α)

Поскольку cos(ωt + a) = cosωt cosa − sinωt sina, то, сравнивая с (10.5), получаем

где c₁ = А cos a, а c₂ = −А sina.

сos φ и sin φ являются периодическими функциями от t с периодом

.

Период колебания – промежуток времени, в конце которого точка оказывается в том же положении и движется с той же скоростью, как и в его начале.

Периодические колебания, при которых смещение меняется по закону sin или cos называются гармоническими колебаниями.

Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение.Коэффициент А называется амплитудойколебаний, а аргумент косинуса — их фазой,αесть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени. Величина ω называется циклической частотойколебаний, или просто частотой.

Частота ω является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения, и в частности от энергии. Согласно формуле , то есть она полностью определяется свойствами механической системы как таковой. Hеобходимо, однако, подчеркнуть, что это свойство частоты связано с предполагаемой малостью колебаний. Оно исчезает при переходе к более высоким приближениям.

Зная уравнение смещения точки при гармоническом колебании

х = А cos φ = А cos (φ₀ + ωt)

легко найти уравнения изменения других кинематических и динамических характеристик.

Скорость движения точки

υ = = – ωА sin φ = – ωА sin (φ₀ + ωt).

Ускорение движения точки

a = = – ω²А cos φ = – ω²А cos (φ₀ + ωt)

или

a = – ω² х .

Из полученных уравнений и их графического представления следует:

– смещение х, скорость υ, ускорение а точки меняются гармонически с одинаковой циклической частотой ω и периодом Т;

– амплитуда колебаний | х_max | = | A |, | υ_max | = | ωА |, | a _max | = | A ω² |;

– фазы колебаний различны:

– колебания скорости опережают колебания смещения на 0,5π,

– колебания ускорения опережают колебания смещения на π.

Энергия системы, совершающей малые колебания, есть

Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.