Матричный вид системы линейных уравнений

МАТРИЦЫ

Определение.Матрица Аразмера (m строк, n столбцов) – это таблица чисел вида

(1)

Сокращённые обозначения: ,

- ая строка А, i = 1, 2, … , m,

-ый столбец матрицы А, j = 1, 2, … n,

- элемент матрицы А, находящийся на пересечении i – ой строки и j – го столбца.

При m ≠ n A называется прямоугольной матрицей, при m = n A называется квадратной матрицей порядка n.

- множество квадратных матриц порядка n.

Определениеравенства матриц. Пусть

Операции над матрицами

Определение.Пусть . Транспонирование матрицы А – это переход от матрицы А к матрице размера вида

,

строки которой – это столбцы матрицы А (см.(1)).

Очевидно, что .

Пример

Определениесуммы матриц.

Пусть Тогда , то есть сумма матриц А и В одного размера - это матрица размера , каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, расположенных на одинаковых местах (в i – ой строке и j – ом столбце) в этих матрицах.

Пример

Определениеумножения матрицы на число. Пусть и

Тогда , то есть для умножения матрицы на число нужно умножить на это число каждый элемент матрицы.

Определениеумножения матриц. Пусть Только для матриц таких размеров (при которых длина l строки матрицы А равна высоте l столбца В) определено их произведение

,

где для

(2)

В (2) использовано стандартное сокращенное обозначение суммы нескольких величин:

Формулу (2) легко запомнить так:

элемент матрицы расположенный в i – ой строке и j – ом столбце матрицы С, равен «скалярному» произведению i – ой строки матрицы А на j – ый столбец матрицы В.

. (3)

Пример

Их произведение определено:

По формуле (2) или (3)

Следовательно,

Свойствасложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц аналогичны свойствам сложения и умножения действительных чисел, но умножение матриц не коммутативно: в общем случае

В рассмотренном примере умножения матриц - матрица , но будет матрицей

Определение.Единичная матрица Е порядка n - это квадратная матрица порядка n вида

Е имеет свойства, аналогичные свойствам 1 при умножении действительных чисел: можно проверить, что для любой матрицы А размером

и .

Матричный вид системы линейных уравнений

Рассмотрим СЛУ из n уравнений с n неизвестными :

(4)

Определим для этой СЛУ следующие матрицы:

- квадратная матрица порядка n, называемая матрицей СЛУ,

- столбец неизвестных СЛУ, который является матрицей размера

- столбец свободных членов СЛУ, матрица размера

Теперь СЛУ (4) можно записать в матричном виде

, (5) так как

. =

Полученный матричный вид (5) СЛУ напоминает общий вид одного уравнения с одним неизвестным х:

При оно имеет единственное решение: так как существует обратное к а число и

Возникает вопрос: можно ли аналогично решить СЛУ (5) – найти обратную к А матрицу и записать решение СЛУ (5) в виде

Но мы пока не знаем, что такое матрица , обратная к матрице А, и для каких матриц А существует .