Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Рассмотрим матрицу системы матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Найдем произведение

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru . Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

1. матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Найдем матрицу обратную матрице A.

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

,

Таким образом, x = 3, y = – 1.

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

2.

Итак, х1=4,х2=3,х3=5.

Решите матричное уравнение: XA+B=C, где матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Найдем матрицу А-1.

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Проверка:

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Решите матричное уравнение AX+B=C, где матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Из уравнения получаем . матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Следовательно, матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru , умножим на матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования: перестановка строк или столбцов; умножение строки на число, отличное от нуля; прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

1.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

2 матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

3.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Вернемся к системе уравнений. матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

матричный метод решения систем линейных уравнений - student2.ru

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Наши рекомендации