Признак сходимости знакочередующихся рядов

Определение: Ряд называется знакочередующимся, если всякие два соседних члена ряда являются числами разных знаков.

Будем для определенности предполагать, что первый член ряда положителен.

Теорема (признак Лейбница):Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям: 1) последовательность его членов монотонно убывает по абсолютной величине; 2) общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.

Функциональные ряды. Степенные ряды

Определение: Функциональным рядом называют сумму членов функциональной последовательности Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru .

Зафиксируем некоторое значение Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru , в результате получим обычный числовой ряд, который можно исследовать на сходимость.

Из всех функциональных рядов одними из наиболее распространенных являются так называемые степенные ряды.

Определение: Степенным рядом называется ряд вида:

Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru

где числа Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru называют коэффициентами ряда, а член Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru - общим членом ряда.

Определение: Число Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru называется радиусом сходимости ряда
Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru , если при Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru ряд сходится и притом абсолютно, а при Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru ряд расходится.

Радиус сходимости можно найти, используя признак Даламбера:

Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru ( Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru не зависит от n),

Отсюда следует, что если существует предел Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru , то радиус сходимости равен этому пределу и ряд сходится при Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru , то есть в промежутке Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru , который называется интервалом сходимости.

Если Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru , то ряд сходится в единственной точке Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru .

Сходимость ряда при Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru и Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

Примеры решения задач

Пример 1.Найти промежуток сходимости степенного ряда

Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru

Решение:

Используя формулу Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru , получим:

Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно при Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru

Исследуем сходимость ряда в точках Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru и Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru . При Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru имеем ряд

Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru

Это знакочередующийся ряд, который в силу признака Лейбница сходится.

При Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru имеем ряд

Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru

или

Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru

Отсюда следует, что данный ряд сходится при Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru .

Ответ: Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru .

Раздел 2. Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 2.1

Вероятность. Закон распределения дискретной случайной величины. Характеристики случайной величины

Элементы комбинаторики

Определение: Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут:

Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

1. Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок обозначается Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru и вычисляется по формуле:

Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru

2. Размещениями из n элементов по k в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения. Число размещений обозначается Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru и вычисляется по формуле:

Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru - размещения без повторений

Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru - размещения с повторениями

3. Сочетанияминазываются все возможные комбинации из n элементов по k, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом. Число сочетаний обозначается Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru . Число сочетаний вычисляется по формуле: Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru n способами.

Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Событие – исход наблюдения или эксперимента. Обозначаются события заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, D.

Событие называется достоверным, если в результате данного испытания оно обязательно произойдет.

Событие называется невозможным, если в результате данного испытания оно произойти не может.

Событие называется случайным, если в результате данного испытания оно может произойти или не произойти.

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.

Полной системой событий Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru , Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru , Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru ,…. Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru называется совокупность несовместных событий, наступление одного из которых обязательно при данном испытании. Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными. Событие, противоположное событию Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru , обозначается Признак сходимости знакочередующихся рядов - student2.ru .

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события А, называется вероятностью этого события и обозначается символом P (А).

Наши рекомендации