ТЕМА: Кинематический анализ механизмов.

Краткое содержание: Теорема о сложении движения. Кинематический анализ рычажных механизмов методом векторных уравнений и их графическое решение в форме планов положений, скоростей и ускорений. Пример кинематического исследования шарнирного, кривошипно-ползунного и кулисного механизмов.

Контрольные вопросы.

Теорема о сложении движения

При кинематическом исследовании методом планов скоростей и ускорений различают абсолютное и относительное движение звеньев и кинематических пар механизма и основываются на теореме о сложении движения, согласно которой «движение любой точки звена рассматривается как сложное, состоящее из двух движений: а) переносного вместе с одной из точек звена, выбранной за полюс в относительном движении и б) относительного вокруг выбранного полюса»

Абсолютное движение – это движение точки или тела относительно неподвижной системы координат, связанной с неподвижной стойкой

Относительное движение – это движение точки или звена относительно подвижной системы координат, которая связана с каким-либо движущимся звеном. Движение подвижной системы координат называется переносным движением.

Метод векторных уравнений и их графическое решение в форме планов положений, скоростей и ускорений.

Планом положения механизма называется чертеж, изображающий расположение его звеньев в какой-либо оп­ределенный момент движения. Отсюда следует, что план положения представляет собой кинематическую схему ме­ханизма, вычерченную для заданного положения криво­шипа в определенном масштабе.

Планы положений механизмов, включающих в себя двухповодковые группы, строятся методом засечек.

Пример: Построить план положения механизма (рис. 5.1) для заданного угла поворота φ кривошипа при l_{O A}= 0,03 м; l_{O O} = 0,055 м; l_АВ - 0,05 м; l _{O В}=0,045м; l_AC = l_BC = 0,027 м; l_{O D}= 0,024 м; l_DE = 0,06 м; смеще­ние =0,015 м и угол = 55°.

Для построения плана принимаем, что длину кривошипа l_{O A} на схеме будет изображать отрезок O₁A, длина которого равна 30 мм. Тогда масштаб длин плана

м/мм.

Затем вычисляем длины остальных отрезков, которые будем откладывать на чертеже:

мм; мм; мм;

мм; мм;

мм; мм.

Построение плана (рис. 5.1) начинаем с нанесения элементов не­подвижного звена. Штрихпунктирной линией проводим линию центров O₁O₂ и на ней наносим точки O₁ и O₂ на рас­стоянии O₁O₂ = 55 мм. На расстоянии а' от линии O₁O₂ проводим траекторию движения точки Е.

Под углом φ = 55° к линии O₁O₂ через точку О₁ прово­дим ось ведущего звена и от этой точки откладываем на ней отрезок О₁А. Это и будет изображение ведущего звена О₁A в заданном положении.

Положение точки В определяем методом засечек. Для этого из точки А радиусом АВ, а източки O₂ радиусом О₂B проводим дуги. Точка их пересечения и будет точкой В.

На звене O₂В находим положение точки D. Сделав ра­диусом DE из точки D засечку на траектории движения точки Е, определяем положение этой точки на схеме. По­ложение точки С находим на пересечении дуг радиусов АС и ВС.

Рис. 5.1

Планы скоростей. Зная закон движения ведущего звена и длины всех зве­ньев механизма, можно определить скорости его точек по величине и направлению в любом положении механизма путем построения плана скоростей для этого положения.

Построение планов скоростей и чтение их во многом упрощаются при использовании свойств этих планов, ко­торые заключаются в следующем:

1. Векторы, исходящие из полюса, изображает абсолют­ные скорости соответствующих точек звеньев механизма в масштабе плана скоростей. Точки плана скоростей, соот­ветствующие неподвижным точкам механизма, находятся в полюсе плана.

2. Векторы, соединяющие концы векторов абсолютных скоростей, выражают величины и направления относитель­ных скоростей.

3. Векторы относительных скоростей точек звена на плане скоростей образуют фигуру, подобную одноимен­ной жесткой фигуре, образованной отрезками, соединяющими эти точки звена на плане механизма, повернутую по отношению к последней на 90° в сторону мгновенного вращения данного звена.

ПримерОпределить абсолютные и относительные скорости точек звеньев и угловые скорости звеньев меха­низма (см. рис. 5.2) методом планов скоростей, кривошип O₁A имеет частоту вращения n₁ = 120 об/мин в направлении по часовой стрелке. Размеры звеньев — те же.

Решение. Определяем угловую скорость кривошипа О₁А по фор­муле:

1/c.

Согласно теореме о сложении движения абсолютная скорость точки А кривошипа О₁А будет определятся

где - переносная скорость т. О₁ , - относительная скорость т. А во вращении вокруг т. В. Т. о., абсолютная скорость совпадает с относительной, поэтому скорость точки А находим по фор­муле

м/с.

Вектор _a направлен перпендикулярно к оси звена O₁A в сторону его вращения.

Задаемся длиной отрезка ра, который будет изображать на плане скорость , точки A; ра = 66 мм. Масштаб плана скоростей

м/с·мм.

От произвольной точки р, принятой за полюс плана ско­ростей, откладываем перпендикулярно к звену О₁А отре­зок ра (рис. 5.3).

Скорости неподвижных точек О₁ и O₂ равны нулю, поэтому векторы и также равны нулю и, следовательно, токи о₁ и о₂ на плане скоростей совпадают с по­люсом р.

Для определения скорости точки В воспользуемся векторными уравнениями:

(1)

(2)

где — скорость точки А в переносном движении; — относительная скорость точки В во вращении вокруг точки А; — скорость точки O₂; — относительная скорость точки В во вра­щении вокруг точки O₂.

В этих уравнениях скорость известна по величине и направлению, скорость = 0. Относительные скорости и известны лишь по линии действия: пер­пендикулярна к звену АВ, перпендикулярна к звену 0₂В. Поэтому для определения скорости точки В через точку а (конец вектора скорости ) проводим перпенди­кулярно звену АВ линию действия скорости , а через точку о₂, совпадающую с полюсом р плана скоростей, проводим перпендикулярно звену О₂В линию действия скорости . На пересечении этих двух линий действия получим точку b — конец вектора скорости точки В:

м/с.

Направление скорости определяется направлением вектора .

Согласно уравнению (1) вектор изображает относительную скорость точки В во вращении вокруг точки А:

м/с.

Согласно уравнению (2) вектор ( ) изображает относительную скорость точки В во вращении вокруг точки O₂:

м/с.

Рис. 5.2

Рис. 5.3

Рис. 5.4

Положение точки с (конец вектора скорости точки С) определяем на плане скоростей по теореме подобия (третье свойство планов скоростей). На отрезке ab плана скоростей строим треугольник аbс,подобный треугольнику ABC звена 2. Определяем длины отрезков ас и bc из пропорций

и

Поскольку АС = ВС, то

мм.

Из точек а и b плана скоростей радиусами, равными со­ответственно отрезкам ас и bc, делаем засечки. Получив две точки пересечения этих дуг, справа и слева от вектора . За точку с плана скоростей следует взять ту из полу­ченных точек, при которой порядок букв в треугольниках abc и ABC будет одинаковым. Так, например, при обходе сторон ABC звена 2 по направлению вращения часовой стрелки читаем: А С В. Порядок букв в треуголь­нике abc при обходе сторон треугольника также по часовой стрелке должен сохраниться а с b. Следовательно, точка с плана скоростей будет слева от вектора .

Соединяем полюс плана скоростей р с точкой с и опре­деляем величину скорости точки С:

м/с.

Согласно тому же свойству планов скоростей находим положение точки d на плане исходя из пропорции:

В этом случае фигура относительных скоростей o₂db на плане скоростей будет прямой по подобию с прямой О₂B механизма:

мм.

Определив положение точки d на плане скоростей, нахо­дим величину скорости точки D

м/с.

Скорость точки Е шатуна DE представляем в виде век­торной суммы переносной и относительной скоростей. Для ееопределения воспользуемся векторными уравнениями:

(3)

(4)

где — скорость точки D в переносном движении; — относительная скорость точки Е во вращении вокруг точки D; — скорость точки Е₀, принадлежащей стойке и совпадающей в данный момент с точкой Е ползуна; — скорость точки Е в поступательном движении относительно точки Е₀.

В этих уравнениях скорость известна по величине и направлению, скорость = 0. Относительные скорости и известны лишь по линиям действия: пер­пендикулярна к звену DE, параллельна оси направ­ляющих ползуна. Для определения скорости точки Е через точку d плана скоростей проводим перпендикулярно звену DE линию действия скорости , а через точку е₀, совпадающую с полюсом плана р параллельно оси направляющих ползуна (х — х) — линию действия скорости . Точка е пересечения этих линий действия опреде­ляет конец вектора скорости точки Е. Величина ско­рости

м/с.

Вектор de определяет величину и направление ско­рости

м/с.

Для определения скоростей центров масс звеньев пользуемся теоремой подобия (третье свойство планов скоростей): находим на плане точки s₂, s₃, s₄, подобные центрам тяжести звеньев S₂, S₃ и S_4. Из полюса р в этиточки проводим векторы. Определяем величины скоростей центров тяжести:

м/с;

м/с;

м/с.

Переходим к определению угловых скоростей звеньев. Угловая скорость ω₁ ведущего звена известна по величине и направлению (ω₁ = 12,56 1/с и это звено вращается по часовой стрелке).

Чтобы определить угловую скорость ω₂ звена АВ, рас­смотрим вращение точки В вокруг точки А. Направление скорости точки В во вращении вокруг точки А опреде­ляется направлением вектора . Мысленно переносим этот вектор в точку В механизма и считаем точку А как бы неподвижной. Точка В в направлении вектора враща­ется относительно точки А против часовой стрелки, что и определяет направление вращения звена АВ. Находим величину угловой скорости второго звена по формуле

1/c.

При определении направления угловой скорости ω₃ по­ступаем аналогично. Перенесенный в точку В звена O₂В вектор показывает, что точка В вращается относительно точки O₂ по часовой стрелке. Это определяет направление угловой скорости третьего звена

1/с.

Чтобы определить угловую скорость ω₄ звена DE, мысленно переносим вектор скорости в точку Е. В направлении вектора точка Е вращается относительно точки D, которую считаем как бы неподвижной, против часовой стрелки, что и определяет направление вращения звена DE. Величина этой угловой скорости

1/с.

Угловая скорость ползуна 5, совершающего прямоли­нейное поступательное движение, равна нулю.

План ускорений. По аналогии с планами скоростей при помощи планов ускорений можно найти ускорения любых точек механизма. При построении планов ускорений также следует пользо­ваться их изображающими свойствами, заключающимися в следующем:

1. Векторы, исходящие из полюса, изображают абсолютные ускорения соответствующих точек механизма в масштабе плана ускорений. Точки плана ускорений, соответствующие точкам, ускорения которых равны нулю, располагаются в полюсе.

2. Векторы, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений, выражают в том же масштабе полные относи­тельные ускорения.

3. Полные относительные ускорения на плане ускоре­ний образуют фигуру, подобную одноименной жесткой фи­гуре на плане положения механизма, но повернутую по от­ношению к последней на некоторый угол 180° — в сто­рону мгновенного углового ускорения данного звена, где

Поскольку полные относительные ускорения состоят из геометрической суммы тангенциальных и нормальных составляющих, то обычно концы векторов абсолютных ускорений на планах ускорений обозначают буквами, соответствующими названию точек. Концы векторов нормаль­ных составляющих ускорения обозначают другими буквами, не встречающимися в обозначениях точек механизма.

ПримерМетодом планов ускорений определить абсо­лютные и относительные ускорения точек звеньев и угло­вые ускорения звеньев механизма (рис. 5.2).

Решение. Определим ускорение точки А. Поскольку звено O₁A вращается равномерно где и , то точка А имеет только нормальное ускорение, которое направлено по звену O₁A к центру вращения. Величина этого ускорения:

м/с .

Выбираем длину отрезка р'а', изображающего вектор ускорения точки А, тогда масштаб плана ускорений

м/с мм.

Из произвольной точки р', принятой за полюс плана ускорений, откладываем параллельно звену О₁А в направ­лении от точки А кточке О₁ отрезок р'а' (рис. 5.4).

Ускорения точек О₁ и O₂ механизма равны нулю, сле­довательно, точки о'₁и о₂ будут совпадать с полюсом плана ускорений.

Рассматриваем движение точки В со звеньями АВ и BO₂ и по аналогии с планом скоростей составляем векторные уравнения:

(5)

(6)

Полные относительные ускорения и , представ­ляем в виде суммы двух составляющих — нормальной, направленной по оси соответствующего звена к центру вра­щения в относительном движении, и тангенциальной, пер­пендикулярной к этому звену. Тогда уравнения (5) и (6) можно записать в следующем виде:

В этих уравнениях ускорение а_А известно по величине и по направлению, ускорение = 0.

Определяем величины нормальных ускорений:

м/с ;

м/с .

Ускорение направлено по оси звена АВ от точки В к точке А, ускорение — по оси звена O₂В от точки В к точке O₂.

Относительные тангенциальные ускорения известны только по линиям их действия. Ускорение перпенди­кулярно звену АВ, а ускорение перпендикулярно звену O₂В. Величины и направления тангенциальных ускорений определяем путем построения плана ускорений.

От точки а' плана ускорений параллельно звену АВ в направлении от точки В к точке А откладываем вектор изображающий ускорение . Длина этого отрезка

мм.

Через точку п₁проводим перпендикулярно к звену AB линию действия тангенциального ускорения . Затем от точки о'₂ плана ускорений, совпадающей с полюсом р', параллельно звену O₂В в направлении от точки В к точке O₂ откладываем вектор , изображающий ускорение . Определим длину этого отрезка:

мм.

Через точку п₂ проводим перпендикулярно звену O₂В линию действия тангенциального ускорения . На пересечении линий действия ускорений и получим точку b — конец вектора р'b', изображающего ускорение точки В механизма:

м/с .

Точка b' определяет также концы векторов и танген­циальных ускорений и :

м/с ;

м/с .

Вектор изображает полное относительное ускорение точки В во вращении вокруг точки А:

м/с .

Вектор полного ускорения точки В во вра­щении относительно точки O₂ механизма совпадает с век­тором абсолютного ускорения точки В. Следова­тельно:

м/с .

Исходя из третьего свойства планов ускорений а'b'с' - относительных ускорений должен быть подобен ABC звена 2, т. е. можно составить пропорции

и .

Поскольку АС =ВС, то

мм.

Из точек а' и b' плана ускорений радиусами, равными соответственно длинам отрезков а'с' и b'с', делаем засечки. Из полученных точек пересечения засекающих дуг (слева и справа от вектора ) в качестве точки с' выбираем точку, расположенную слева, так как при этом порядок букв при обходе треугольника а'b'с' плана ускорений и треуголь­ника ABC механизма будет одинаковым. Соединив полюс плана ускорений с точкой с', получаем вектор абсолютного ускорения точки С механизма:

м/с

Находим положение точки d' на плане ускорений исходя из пропорции

откуда

Следовательно, абсолютное ускорение точки D

м/с .

Для определения ускорения точки Е воспользуемся векторными уравнениями:

(7)

(8)

где — абсолютное ускорение точки D; — полное относительное ускорение точки Е во вращении вокруг точки D; — ускорение точки Е₀, принадлежащей стойке и совпадающей в данный момент с точкой Е ползуна; — ускорение точки Е в поступательном движении относительно точки E₀. В этих уравнениях:

а) ускорение известно по величине и по направ­лению;

б) полное относительное ускорение представляем состоящим из нормальной и тангенциальной со­ставляющих, тогда уравнение (8) принимает вид:

где нормальное ускорение

м/с

направлено по оси звена DE от точки Е к точке D.

Для тангенциального ускорения известна только линия его действия, перпендикулярная к звену DE;

в) ускорение = 0;

г) ускорение известно по линии действия; оно направлено параллельно оси направляющих ползуна.

От точки d' плана ускорений параллельно звену DE в направлении от точки Е к точке D откладываем век­тор , изображающий нормальное ускорение , предварительно определив длину этого отрезка:

мм.

Поскольку его длина в выбранном масштабе плана ускорений не превышает 1 мм, то точки п₃ и d' на плане совпадают.

Из точки п₃перпендикулярно звену DE проводим линию действия тангенциального ускорения . Поскольку ускорение равно нулю, то точка е'₀ на плане ускоре­ний совпадает с полюсом р'. Через точку е'₀ параллельно оси направляющих ползуна х — х проводим линию дей­ствия ускорения . Точка е' пересечения этих линий действия определяет конец вектора, изображающего абсо­лютное ускорение точки Е:

м/с .

Точка е' определяет также концы векторов = , изображающих тангенциальное и полное относительное ускорения:

м/с .

Вектор ускорения совпадает с вектором абсолютного ускорения точки Е. Следовательно,

м/с .

Зная положения центров тяжести S₂, S₃, S₄ на звеньях по аналогии с планом скоростей находим по правилу подобия соответствующие им точки , , на плане ускорений. Соединяем полученные точки с по­люсом плана ускорений и определяем ускорения центров тяжести:

м/с ;

м/с ;

м/с .

Определяем угловые ускорения звеньев. Угловое уско­рение ведущего звена О₁А, совершающего равномерное движение, равно ну­лю.

Угловое ускоре­ние звена 2

1/c .

Для определения направления углово­го ускорения зве­на 2 рассмотрим вра­щение точки В вокруг точки А. Перенесем мысленно вектор тангенциального ус­корения в точку В. В направлении этого вектора точка В вра­щается относительно точки А против часовой стрелки, что и определяет на­правление углового ускорения ₂.

Угловое ускорение звена О₂B направлено против часовой стрелки (по вращению точки В относительно точки O₂ в направлении вектора тангенциального ускорения ). Величина его определяется по формуле:

1/c .

Угловое ускорение звена DE направлено в соответ­ствии с круговой стрелкой, направленной против часовой стрелки (по вращению точки Е относительно точки D в направлении вектора тангенциального ускорения и определяется по формуле

1/c .

Звено 5 совершает поступательное движение, поэтому угловое ускорение ; ускорение его центра тяжести , совпадает по величине и направлению с ускорением точки Е.