Кинематический анализ рычажных механизмов

2.1 Общие понятия

Целью кинематического анализа механизма является определение положений, угловых скоростей и ускорений звеньев, а также скоростей и ускорений точек звеньев в функции времени или положения входного звена, движение которого считается заданным.

Зависимость координаты выходного звена от координаты входного звена называют функцией положения механизма.

2.2 Траектории и разметка траекторий точек механизмов

Кривая, по которой перемещается точка звена во время работы механизма, называется траекторией этой точки. Определение траекторий необходимо в следующих случаях:

1) при изучении рабочего процесса машины;

2) при решении вопроса, смогут ли звенья совершать требуемые движения.

Для механизмов ІІ класса используются три способа построения траекторий: метод засечек, метод шаблонов и метод моделей.

В данных методических указаниях мы рассмотрим метод засечек, используемый в курсовом проектировании. Для построения траекторий отдельных точек звеньев должна быть известна структурная схема механизма и размеры всех звеньев. Построение планов механизма и траекторий точек рассмотрим на конкретном примере.

Пусть дан механизм (рис. 2.1).

Принимаем за начало отсчета общую точку корпуса и начального звена О и описываем траекторию точки А в масштабе:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (2.1)

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru – длина кривошипа в м;

ОА- длина кривошипа на чертеже в мм.

По отношению к точке О располагаются в масштабе принадлежащие корпусу остальные неподвижные точки и линии структурной схемы механизма (в данном случае точка О1 и линия движения ползуна).

За начальное выбираем такое положение механизма, при котором выходное звено занимает крайнее правое положение. В этом случае кривошип ОА лежит на одной линии с шатуном АВ. Точка В0 находится на пересечении дуг радиусами Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ( Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ) и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , проведенных из точек О1 и О соответственно. Пересечение отрезка ОВ с траекторией точки А (окружностью радиусом ОА) даст точку А0.

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 2.1

Для определения точки С0 проводится дуга Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru радиусом Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . Точка пересечения упомянутой дуги Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и отрезка ВО1 будет искомой точкой С0.

Из точки С0 радиусом Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru проводится дуга до пересечения с линией Ох. Полученная точка Д0 есть положение ползуна в фиксированном положении кривошипа А0.

Соединив все полученные точки, получим кинематическую схему, называемую планом механизма в данном его положении.

Разделив окружность радиусом ОА на восемь равных частей, начиная с точки А0, получим восемь положений кривошипа (положения указывать в соответствии с направлением угловой скорости первого звена).

Переходя к следующему положению кривошипа и поступая аналогичным образом, находим остальные планы механизма, которые обычно совмещаются на одном рисунке для нахождения траекторий движения отдельных точек.

2.3 Построение плана скоростей и ускорений для плоского рычажного механизма

Существует три способа нахождения скоростей точек звеньев механизма: метод планов скоростей; аналитический метод и метод графиков. Основным методом является метод планов скоростей, который излагается ниже.

Планом скоростей называется графическое построение, представляющее собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные скорости точек звеньев, а отрезки, соединяющие концы лучей, - относительные скорости точек звеньев.

Для построения планов скоростей плоского рычажного механизма с внешней поступательно движущейся парой (рис. 2.1) используется теория плоского движения (рис. 2.2).

Скорость любой точки плоской фигуры находится по формуле:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (2.2)

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - скорость полюса;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru -вращательная скорость точки В вокруг полюса А.

Причем Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru перпендикулярна отрезку, соединяющему точки А и В, а ее модуль равен

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ,

где ωВА -угловая скорость плоской фигуры,

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru -длина отрезка, соединяющего точки А и В.

Из выражения (2.2) следует, что скорость точки В есть диагональ параллелограмма, построенного на векторах Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru как сторонах.

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 2.2

Приведем пример построения плана скоростей.

Пусть известны кинематическая схема механизма (рис. 2.3, а), длины звеньев которого соответственно равны Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , а также угловая скорость начального звена, которая не изменяется с течением времени.

Механизм содержит внешнюю, поступательно движущуюся пару.

Построение плана скоростей в заданном положении сводится к следующим этапам:

1. Используя выражение (2.2), находится скорость точки А кривошипа:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Так как Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , то Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и направлен перпендикулярно звену ОА, а модуль скорости Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 2.3

2. Выбирается произвольная точка Р на плоскости (рис. 2.3, б) в качестве полюса и из нее проводится отрезок Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , параллельный скорости Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . По значению скорости Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и принятой длине отрезка Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru в мм определяется масштаб плана скоростей:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , ( Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ) (2.3)

1. Для построения скорости точки В записывается выражение (2.2), взяв за полюсы точки А и О1:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Скорость Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru равна нулю, а скорости Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru во вращательном движении вокруг полюсов всегда перпендикулярны отрезкам, соединяющим точку В с полюсами, т. е. Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , а Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Решая совместно два векторных уравнения (проведя из точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru перпендикуляр к отрезку ВА, а из полюса Р перпендикуляр к отрезку ВО1), находим точку Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Отрезок Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru в масштабе выражает скорость точки В:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

4. Скорости точек В и С переменны, так как принадлежат одному звену, вращающемуся вокруг неподвижной точки О1. Поэтому на плане они будут лежать на одной прямой, а модуль скорости точки С

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

и тогда отрезок Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru на плане скоростей равен:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Отрезок Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru в масштабе выражает скорость точки С:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

5. Выражение (2.2) для точки Д имеет вид:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Если учесть, что направление скорости точки Д расположено на прямой, параллельной траектории движения ползуна, а Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , то, проведя из точки с плана отрезок, перпендикулярный СД, а из точки Р – прямую, параллельную траектории ползуна, получим искомую точку Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Направленный отрезок Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и выражает скорость точки Д:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

6. Для нахождения скоростей точек S1, S2, S3, S4 середин звеньев отрезки Pа, ab, Pb и cd делятся пополам и из полюса Р к ним проводятся лучи Ps1, Ps2, Ps3, Ps4, которые в масштабе представляют собой скорости точек Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Их модули равны:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

7. Угловые скорости звеньев:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Таким образом, план скоростей построен и определены требуемые скорости точек и угловые скорости звеньев.

Значения ускорений отдельных точек механизма и угловых ускорений звеньев необходимо знать для определения сил инерции, действующих на звенья механизма.

Так же, как и для скоростей, существует три способа определения ускорений точек звеньев механизма: метод планов ускорений; аналитический метод и метод графиков. Основным является метод планов ускорений.

Планом ускорений механизма называется графическое построение, лучи которого изображают абсолютные ускорения точек звеньев, а отрезки, соединяющие концы лучей, - относительные ускорения соответствующих точек звеньев в данном положении механизма.

Для построения планов ускорений плоского рычажного механизма с внешней поступательно движущейся парой (рис. 2.1) используется теория плоского движения (рис. 2.4).

Для построения плана ускорений используется теорема об ускорениях точек плоской фигуры

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (2.4)

где – Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - ускорение полюса;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru –соответственно центростремительное и вращательное ускорения точки В во вращательном движении вокруг полюса А;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 2.4

Центростремительное ускорение Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru направлено к полюсу А и по величине равно

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (2.5)

Вращательное ускорение Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru перпендикулярно отрезку, соединяющему точку В с полюсом А, направлено в сторону вращения плоской фигуры при ускоренном и в противоположную сторону - при замедленном вращении, а по величине равно

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (2.6)

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - угловое ускорение плоской фигуры.

Графическое определение вектора Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru показано на рис. 2.4.

Из построения видно, что ускорение Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru является замыкающим вектором векторного многоугольника, составленного из векторов Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Приведем пример построения плана ускорений.

Для механизма (рис. 2.5, а), содержащего внешнюю поступательно движущуюся пару, построение плана ускорений проводится в следующей последовательности:

1. Находится ускорение точки А кривошипа, взяв за полюс точку О и использовав выражение (2.4):

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Так как Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , то Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , то есть равно центростремительному ускорению, которое направлено к точке О и по величине равно Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

2. Выбирается на плоскости произвольная точка Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , из нее проводится отрезок Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , параллельный вектору ускорения Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , который в масштабе

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru однозначно определяет его величину и направление (рис. 2.5, а, б).

3 Для нахождения ускорения точки В запишем выражение (2.4), взяв за полюсы точки А и О1:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Высчитываем ускорения Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (угловые скорости найдены после построения планов скоростей). Причем центростремительные ускорения направлены от точки В к соответствующим полюсам.

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 2.5

Вращательные ускорения перпендикулярны отрезкам, соединяющим точку В с полюсами А и О1.

В дальнейшем с конца отрезка Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru в масштабе проводится направленный отрезок Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , а из точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и в их конечных точках восстанавливаем перпендикуляры соответственно к ВА и ВО1 - Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . На пересечении последних находится конец отрезка Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Модули искомых ускорений равны:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

4 Точки В и С лежат на одной прямой, вращающейся вокруг неподвижной точки О1, поэтому их ускорения параллельны, а, следовательно, на плане ускорений должны лежать на одной прямой, а модуль ускорения

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ,

на плане ускорений отрезок

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Модуль ускорения точки С:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

5 Выражение (2.4) для точки Д имеет вид:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ,

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - центростремительное ускорение;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - вращательное ускорение, лежащее на прямой, перпендикулярной отрезку ДС.

Ускорение точки Д на плане скоростей берет свое начало в точке Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , а вектор ускорения направлен вдоль траектории ползуна. Поэтому для нахождения ускорения точки Д необходимо от точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru отложить отрезок Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , восстановить в конечной точке перпендикуляр, т. е. указать положение отрезка Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . Если из точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru провести прямую, параллельную траектории ползуна, получим точку пересечения Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , т. е. ускорение точки Д вокруг полюса С

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

6. Соединив на плане точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и найдя их середины s2 и s4 , получим ускорения центров тяжести звеньев 2 и 4.

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Для нахождения ускорений центров тяжести звеньев 1 и 3 отрезки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru делятся пополам точками s1 и s3. При этом Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru представляют собой ускорения центров тяжести этих звеньев в выбранном масштабе.

Угловые ускорения звеньев для данного положения механизма равны:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Для определения направления углового ускорения необходимо вектор вращательного ускорения мысленно перенести в соответствующую точку и посмотреть его направление относительно полюса. Например, на рис. 2.5, в для звена 2 вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru мысленно переносим в точку В, относительно полюса А он вращает звено против часовой стрелки. Для звена 3 вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru мысленно переносим в точку В, относительно полюса О1 он вращает звено против часовой стрелки. Для звена 4 вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru мысленно переносим в точку Д, относительно полюса С он вращает звено по часовой стрелке.

Таким образом, план ускорений рычажного механизма построен и определены необходимые параметры.

2.4 Особенности построения плана скоростей и плана ускорений для кулисного механизма

В кулисном механизме (рис. 2.6, а) точка В совершает сложное движение, причем:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ,

где индекс при точке В означает номер звена, которому принадлежит точка. Иначе говоря, точка В- конкурирующая.

Построим план скоростей.

Скорость точки В, принадлежащей кривошипу 1, будет равна:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ,

причем, Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Скорость Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru с другой стороны можно представить в виде геометрической суммы скоростей точек Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru :

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

или

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , (2.7)

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - относительная скорость, т. е. это скорость камня 2 относительно кулисы 3;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - переносная скорость, т. е. скорость точки В3 кулисы.

Вектор относительной скорости Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru будет направлен вдоль траектории движения камня, т. е. Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Вектор переносной скорости будет направлен перпендикулярно кулисе СД, поскольку точка В3 принадлежит кулисе, совершающей вращательное движение относительно центра Д.

Основываясь на этих соображениях, построим план скоростей (рис. 2,6, б).

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 2.6

Скорость точки В, принадлежащей кривошипу

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ,

откуда масштаб плана скоростей

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Построив линии действия скоростей Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , найдем точку их пересечения, тогда

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Скорость точки С определим из соотношения:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ,

отсюда, Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru или для плана скоростей

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru по направлению совпадает с вектором Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Скорость точки Е определяется как:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ;

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , а скорость точки Е - Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru направлена вдоль звена 5.

План ускорений для кулисного механизма (рис. 2.7, а) будем строить следующим образом.

Ускорение точки В1 можно представить в виде:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ;

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ; Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и имеет направление от точки В к точке А.

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , поскольку Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ( Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ).

С другой стороны ускорение точки В1 можно представить как:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru или

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , (2.8)

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - относительное ускорение,

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - переносное ускорение;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - ускорение Кориолиса.

Модуль относительного ускорения Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru неизвестен, но известно, что Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Модуль Кориолисова ускорения равен:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ;

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Направление ускорения Кориолиса Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru получают путем поворота вектора Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru на угол 900 в направлении переносной угловой скорости Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 2.7

Переносное ускорение можно представить в виде:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ,

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и направлен от точки В к точке Д.

Модуль Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru неизвестен, однако направление вектора Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Выражение (2.8) можно представить тогда как:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (2.9)

По системе (2.9) строим план ускорений (рис. 2.7, б).

Из полюса Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru проводим отрезок Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , который в масштабе будет изображать вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , тогда Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Из точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru проводим линию действия кориолисова ускорения. При этом конец вектора Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru должен приходить в точку Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ( по правилу сложения векторов).

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , откуда Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Из точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru проводим линию действия относительного ускорения Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru параллельно звену ВД.

Из полюса Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru откладываем в масштабе вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru параллельно звену ВД:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , откуда Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Из точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru проводим линию действия вектора Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru перпендикулярно звену ВД.

Точка Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - это точка пересечения линий действия векторов Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Поскольку Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , то

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , а

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

При определении численного значения ускорения точки В2 соответствующее расстояние Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru на плане ускорений необходимо измерять не от полюса Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , а от точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Ускорение точки С найдем из соотношения:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , откуда Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ,

или для плана ускорений

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Ускорение точки Е определяется уравнением:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ,

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru направлен от точки Е к полюсу С. На плане ускорений откладываем отрезок Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . Из точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru проводим линию действия ускорения Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . Далее проводим из полюса Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru горизонтальную линию. Получаем точку пересечения Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

План ускорений построен.

2.5 Построение кинематических диаграмм для выходного звена

Кинематическая диаграмма представляет собой графическое изображение изменения одного из кинематических параметров звена (перемещения, скорости или ускорения) в функции времени или обобщенной координаты.

Для выходного звена строим кинематическую диаграмму перемещения в зависимости от времени. Для этого на оси абсцисс откладываем время одного полного оборота Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (или угол поворота кривошипа Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ). Т. е. с равным интервалом откладываем 8 отрезков, соответствующих 8-и положениям механизма за кинематический цикл. По оси ординат в каждой точке откладываем, согласно планам механизма, перемещения выходного звена от крайнего положения до Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (рис. 2.8, а). Масштабы по осям Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru будут:

ось абсцисс

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (2.16)

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - угловая скорость ведущего звена, рад/с;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - расстояние (от нулевой точки до восьмой) на кинематической диаграмме, мм;

или

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (2.17)

ось ординат

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (2.18)

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - масштаб планов механизма;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - коэффициент увеличения (во сколько раз перемещения выходного звена на плане механизма увеличиваются на кинематической диаграмме перемещения).

Таким образом,

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ; Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ; Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и т. д.,

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - отрезки на кинематической диаграмме;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - отрезки на плане механизмов.

Кинематические диаграммы скорости и ускорения выходного звена строятся графическим дифференцированием методом хорд.

Для построения кинематической диаграммы скорости выходного звена (рис. 2.8, б) на кривой перемещения точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru соединяем хордами, т. е. заменяем кривую перемещения ломаной линией. Принимаем следующее допущение: угол наклона касательных в точках, расположенных посередине каждого участка кривой, равен углу Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru наклона соответствующей хорды.

Далее на диаграмме скорости слева от начала координат отмечаем отрезок Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - полюсное расстояние. Из точки К1 проводим лучи, наклоненные под углами Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru до пересечения с осью ординат в точках Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . Данные точки переносим на ординаты, проведенные в середине каждого из интервалов. Полученные точки Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru являются точками искомой функции Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (либо Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ).

Масштаб по оси ординат диаграммы скорости:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (2.19)

Масштаб по оси абсцисс такой же, как и для предыдущей диаграммы.

Для более точного построения диаграммы скоростей в крайних точках можно продолжить график перемещения слева и справа на один интервал.

Кинематическая диаграмма ускорений (рис. 2.8, в) строится аналогично путем графического дифференцирования графика скорости.

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 2.8

Масштаб диаграммы ускорения:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (2.20)

На кинематических диаграммах скорости и ускорения выходного звена пунктирной линией наносим значения, полученные методом планов скоростей и ускорений. Построение выполняется в масштабе кинематических диаграмм.

Силовой анализ механизма

3.1 Общие сведения

Во время движения механизма в его кинематических парах действуют силы, являющиеся силами взаимодействия между звеньями. Знание сил в кинематических парах необходимо для расчета звеньев механизма на прочность, жесткость, вибростойкость, износоустойчивость. Определение сил в кинематических парах, а также неизвестных внешних сил, приложенных к механизму, составляет содержание силового расчета механизмов.

Силовой расчет основан на методах кинетостатики. Кинетостатика- это раздел механики, который позволяет с помощью принципа Даламбера и принципа освобождаемости от связей придать задаче динамики форму задачи статики. Иными словами, рассмотрение условного равновесия механизма позволяет определить искомые силы.

Принцип Даламбера: при движении механической системы активные силы, реакции связей и силы инерции образуют равновесную систему сил в любой момент движения

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ,

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru активная сила;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru реакция связи;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru сила инерции.

Как известно, при плоском движении тела его инерция сводится к главному вектору сил инерции и главному моменту сил инерции. Так, например, для звена АВ, движущегося плоскопараллельно (рис. 3.1), инерция приводится к двум величинам:

а) сила инерции

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (3.1)

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - масса звена АВ, кг;

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru -ускорение центра масс этого звена, м/с2.

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 3.1

Как следует из уравнения (3.1), главный вектор сил инерции Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru направлен противоположно ускорению Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (прикладывается в центре масс звена).

б) момент сил инерции

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (3.2)

где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс s.

В случае, если звено АВ – стержень с равномерно распределенной массой, Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - угловое ускорение звена АВ, Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Главный момент сил инерции направлен противоположно угловому ускорению звена.

На выходное звено действует сила (момент) полезного сопротивления.

Полезными сопротивлениями называют усилия, для преодоления которых и предназначен механизм или машина. Силы и моменты сил полезного сопротивления всегда направлены противоположно движению (скорости).

Принцип освобождаемости от связей - не нарушая движения или покоя системы, можно отбрасывать отдельные связи и прикладывать к системе соответствующие этим связям реакции.

Так, например, во вращательной кинематической паре (цилиндрический шарнир) реакция связи Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru в случае отсутствия трения проходит через центр вращения О. Обычно эту реакцию раскладывают на две составляющие: нормальную Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , направленную вдоль звена, и касательную Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , направленную перпендикулярно звену (рис. 3.2, а).

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 3.2

В поступательной кинематической паре в случае отсутствия трения реакция Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru направлена перпендикулярно траектории движения ползуна (рис. 3.2, б).

Реакции связей для низших кинематических пар содержат две неизвестные величины: а) модули Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru для вращательной кинематической пары; б) модуль и линию действия (точку приложения) Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru для поступательной кинематической пары. Следовательно, общее число неизвестных связей в механизме будет равно Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , где Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru - число низших кинематических пар (5 класс). Для каждого звена можно записать 3 уравнения равновесия. Следовательно, для Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru звеньев механизма число уравнений равновесия равно Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . Тогда условие статической определимости для всего механизма будет иметь вид:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (3.3)

Уравнение (3.3) полностью совпадает с условием группы Ассура. Таким образом, группы Ассура являются статически определимыми системами.

Тогда силовой расчет механизма состоит в последовательном рассмотрении равновесия групп Ассура с определением неизвестных реакций связи.

При этом порядок силового расчета - обратный по сравнению с кинематическим расчетом, т.е. вначале рассматривается последняя присоединенная структурная группа.

Рассмотрим суть силового расчета, основанного на методах кинетостатики, на конкретном примере.

3.2 Пример силового расчета

Пусть имеется строгальный станок, кинематическая схема которого указана на рис. 3.3.

Исходные данные:

Длины звеньев: ½ОА½=0,12м, ½АВ½=0,5 м, ½ВО1½=0,4 м, ½ВС½=0,15 м, ½ДС½=0,5 м; погонная масса звеньев Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Начальное звено 1 (кривошип) движется равномерно с постоянной угловой скоростью w1=10 рад/с.

Из плана ускорений: угловые ускорения звеньев: Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ; Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ; Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru рад/с2; ускорения центров масс звеньев:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru м/с2; Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ; Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ; Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru м/с2, Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru м/с2

На выходное звено действует сила полезного сопротивления Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 3.3

Необходимо определить реакции в кинематических парах, а также уравновешивающую силу, приложенную к начальному звену.

Для решения задачи разобъем механизм на структурные группы (рис. 3.4).

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 3.4

3.2.1 Расчет структурной группы, состоящей из звеньев 4 и 5

Силовой расчет начнем с рассмотрения последней группы, присоединенной к механизму. При этом воспользуемся принципом Даламбера и принципом освобождаемости от связей. Вычерчиваем структурную группу (рис. 3.5), состоящую из звеньев 4 и 5 в масштабе Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (масштаб можно взять такой, как при вычерчивании планов механизма). Тогда к звеньям 4-5 будут приложены следующие силы:

а) активные: сила сопротивления Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и силы тяжести звеньев Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , приложенные в центрах тяжести.

Масса звеньев Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Силы тяжести Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 3.5

б) реакции связей: Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru для поступательной пары 5-0, приложенная перпендикулярно траектории движения ползуна Д; Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru для вращательной пары 4-3, которую разложим на две составляющие: нормальную Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (направим её параллельно звену 4) и тангенциальную Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (направим её перпендикулярно этому звену);

в) силы и моменты сил инерции: Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , направленная противоположно ускорению точки Д, Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , направленная противоположно ускорению Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (см. план ускорений) и момент Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , направленный противоположно угловому ускорению Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . При этом

Fu4= m4 as4= Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru Н

Fu5= m5 as5= Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru Н

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru Нм.

Составляем векторное уравнение равновесия всех сил для структурной группы:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (3.4)

Уравнение (3.4) содержит три реакции, неизвестные по величине, но известные по направлению: Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . Чтобы по уравнению (3.4) можно было построить силовой многоугольник (план сил), необходимо определить величину хотя бы одной из неизвестных реакций.

Составим уравнение моментов сил, действующих на звено 4, относительно точки Д:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (3.5)

Отсюда найдем, что реакция Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru по модулю равна:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Все плечи сил, входящих в уравнение, определяем из чертежа структурной группы с учетом масштаба (измеряем на чертеже в мм, в формулу подставляем уже в м):

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru м

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru м

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Знак «минус» указывает, что в действительности реакция Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru направлена не вниз, а вверх.

Реакции Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru найдем графически. Для этого построим план сил по уравнению (3.4).

План сил представляет собой векторное изображение сил, выполненное в масштабе.

Задаемся масштабом плана сил mР= 10 Н/мм (масштаб выбираем такой, чтобы наибольшая по модулю сила не превышала 100-120 мм на чертеже).

Вычисляем величины отрезков, которые будут отображать векторы уравнения (3.4) на плане сил:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru мм

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru мм

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru мм

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru мм

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru мм

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru мм

Построение начнем с полюса Р, из которого отложим вначале вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , который в масштабном выражении равен 38,3 мм. Из конца вектора Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru отложим вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , который в масштабном выражении равен 5 мм и т. д., согласно уравнению (3.5). Последний вектор, который мы можем отложить, вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , он также известен по направлению и величине (рис. 3.6).

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 3.6

Чтобы выполнялось условие равновесия, силовой многоугольник, построенный по уравнению (3.4), должен быть замкнутым. Следовательно, мы должны провести из полюса направление одного неизвестного по величине вектора ( Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , его направление перпендикулярно Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ), а из конца построений (вектора Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ) – направление другого неизвестного по величине вектора ( Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , его направление - горизонтальная линия). Полученная точка пересечения и определит длины отрезков, которые в масштабе Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru изображают неизвестные векторы. Сложив геометрически векторы Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , получим суммарную реакцию в кинематической паре Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Для определения реакции связи Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru между звеньями 4 и 5 в группе составим векторное уравнение равновесия всех сил для 4-го звена:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (3.6)

В этом уравнении неизвестен только вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . Мы можем построить план сил по уравнению (3.6), а можем на уже построенном плане сил для структурной группы (рис. 3.6) соединить конец вектора Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru с началом вектора Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и получить искомый вектор Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru .

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

3.2.2 Расчет структурной группы, состоящей из звеньев 2 и 3

Вычерчиваем структурную группу (рис. 3.7), состоящую из звеньев 2 и 3 в масштабе Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . К звеньям 2-3 будут приложены следующие силы:

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Рис. 3.7

а) активные: силы тяжести звеньев Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , приложенные в центрах тяжести.

Масса звеньев Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Силы тяжести Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru

б) реакции связей: Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru для вращательной пары 3-0, которую разложим на две составляющие: нормальную Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и тангенциальную Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ; Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru для вращательной пары 2-1, которую также разложим на две составляющие: нормальную Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и тангенциальную Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru ;

в) силы и моменты сил инерции: Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , направленная противоположно ускорению Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , направленная противоположно ускорению Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru (см. план ускорений) и моменты Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru , направленные противоположно угловым ускорениям соответственно Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru и Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru . При этом

Fu2= m2 as2= Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru Н

Fu3= m3 as3= Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru Н

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru Нм

Кинематический анализ рычажных механизмов - student2.ru Нм

Наши рекомендации