Прямая и плоскость занимают общее положение

Пусть даны плоскость S и прямая AB (рис. 5.4, a). В общем случае они имеют одну общую точку. Эта точка, принадлежащая прямой и плоскости, будет принадлежать и некоторой прямой n этой плоскости. Заметим, что в плоскости через точку можно провести однопараметрическое множество прямых – ¥ . Выделив хотя бы одну из них, легко определим искомую точку. Следовательно, поставленная задача сводится к отысканию некоторой прямой n, принадлежащей заданной плоскости и пересекающей исходную прямую AB.

Прямую n можно рассматривать как проекцию прямой AB на заданную плоскость S (в более широком смысле прямая n есть отображение прямой AB на плоскость S). Для случая линейного проецирования прямые n и AB принадлежат одной плоскости и являются конкурирующими относительно плоскости S. Последнее используем для определения точки пересечения прямой и плоскости. Тогда алгоритм решения поставленной задачи будет следующим:

1) на заданной плоскости S(DCDE) проведем проекции прямой KL (рис. 5.4, б), конкурирующей с заданной прямой AB относительно плоскостей S и Π₂; сначала находим K₂L₂, а затем K₁L₁; прямые KL и AB расположены во фронтально-проецирующей плоскости;

2) находим точки M₁=K₁L₁ÇA₁B₁ и M₂ÎA₂B₂ пересечения проекций прямых AB и KL; точка M(M₁,M₂) – искомая;

3) определяем видимость прямой и плоскости относительно плоскостей проекций.

Для определения видимых участков прямой AB анализируем положение конкурирующих точек скрещивающихся прямых. Так, точки 1 и 2находятся на скрещивающихся прямых AB и DE: 1ÎDE_,2ÎAB. Их горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ совпадают. По фронтальным проекциям точек 1 и 2 при взгляде на плоскость П₁ видно, что точка 1 (точка плоскости) находится над точкой 2 (точка прямой), то есть она закрывает точку 2 при проецировании на горизонтальную плоскость проекций. Следовательно, прямая AB на участке M-2 расположена под треугольником CDE. Тогда горизонтальная проекция отрезка M2 – M₁2₁ будет невидимой. Она показана штриховой линией.

Невидимый участок на фронтальной проекции прямой AB установлен анализом положения точек 4 и 3(4ÎCE, 3ÎAB), принадлежащих скрещивающимся прямым AB и CE. По горизонтальной проекции видно, что если смотреть на плоскость П₂, то невидимой будет точка 3, принадлежащая, прямой. Она ближе расположена к плоскости проекций П₂. На фронтальной плоскости проекций точка 4 закрывает точку 3. В этом месте прямая AB закрыта треугольником СDE. На П₂ невидимый участок M₂3₂ показан штриховой линией.

Задача на пересечение прямой и плоскости общего положения может быть сведена к одному из частных случаев, рассмотренных выше. Для этого прямую или плоскость нужно перевести в проецирующее положение. Ниже приведено решение (рис. 5.5), в котором методом замены плоскостей проекций в проецирующее положение переведена плоскость. На П₄ определена проекция M₄ искомой точки, а затем по линиям связи установлены проекции точки и на исходных плоскостях проекций. Исходные данные взяты такими же, что и в предыдущей задаче. Поэтому установление видимости проекций прямой не рассматривается.