Тема 6 Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве

Лекция 6.1. «Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве»

Учебные вопросы:

1. Прямая линия на плоскости

2. Плоскость в пространстве

3. Прямая в пространстве. Взаимное расположение плоскостей и прямых

Прямая линии на плоскости

Геометрия представляет собой математическую модель, воспроизводящую отношения между объектами, которые могут быть в том или ином смысле отождествлены с точками. В аналитической геометрии точка определяется ее координатами в некоторой системе отсчета и, следовательно, геометрические отношения записываются в виде соотношений между координатами (уравнений, неравенств, систем уравнений или неравенств и др.). Далее, если не оговорено особо, применяется декартова прямоугольная система координат.

На плоскости каждая ее точка (рис. 1.17) представляется двумя координатами: абсциссой и ординатой (записывается ).

Расстояние между точками плоскости и

; (1.3.1)

координаты середины отрезка (точки ) (рис.1.18):

. (1.3.2)

Уравнение вида

или , (1.3.3)

связывающее координаты и точек плоскости, называется уравнением линии , если:

a) координаты каждой точки линии удовлетворяют этому уравнению (рис. 1.19);

b) координаты любой точки, не лежащей на линии , неудовлетворяют этому уравнению.

Уравнение (1.3.3) в общем случае задает на плоскости некоторое точечное множество, которое может быть и не линией на плоскости.

Плоскую линию можно задать также двумя уравнениями

, (1.3.4)

где – переменный параметр (параметрическое задание линии).

Значения координат и , которые удовлетворяют системе уравнений двух кривых

определяют точку пересечения этих кривых. Число точек пересечения равно числу решений этой системы. Если система не имеет решений, то линии не пересекаются.

В зависимости от исходных данных и решаемой задачи уравнение прямой линии на плоскости может иметь различный вид.

Каноническое (симметричное) уравнение прямой. Прямую можно задать точкой , через которую она проходит, и направлением ее прохождения по направлению вектора , лежащего на прямой или параллельного ей (рис. 1.20). Этот вектор называется направляющим вектором прямой. Вектор , проведенный из точки в любую произвольную точку прямой , лежит на прямой и параллелен (коллинеарен) направляющему вектору. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат, т. е.

. (1.3.5)

Уравнение (1.3.5) называется каноническим (симметричным) уравнением прямой.

Направление прямой может быть задано вектором , которому она перпендикулярна (рис. 1.20). Этот вектор называют нормальным вектором прямой. Условием перпендикулярности векторов и является равенство нулю их скалярного произведения

. (1.3.6)

Уравнение (1.3.6) есть уравнение прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данному вектору.

Уравнение (1.3.6) можно записать в виде

. (1.3.7)

Это уравнение (общее уравнение прямой на плоскости ) линейно относительно декартовых координат и и определяет при и одновременно не равных нулю прямую линию на плоскости. Обратно, каждая прямая линия на плоскости может быть определена линейным уравнением (1.3.7). При прямая проходит через начало координат. При прямая проходит параллельно оси , при – параллельно оси . Для примера на рис. 1.21 приведены прямые, соответствующие уравнениям , , .

Коэффициенты в общем уравнении прямой (1.3.7) определяют координаты нормального и направляющего векторов этой прямой: , . Следует отметить, что эти векторы определяются с точностью до постоянного множителя, т. е. векторы и , где – любое не равное нулю число, также могут быть взяты в качестве нормального и направляющего вектора соответственно.

Пример. Дана прямая ( ). Составить уравнения прямых, проходящих через точку а) параллельно данной прямой ( ), б) перпендикулярно данной прямой ( ).

◄ а) Направляющий вектор для данной прямой будет направляющим вектором и для ( ). Каноническое уравнение прямой согласно (1.3.5) будет . Отсюда получаем общее уравнение прямой : . Это же уравнение можно получить другим путем. Записав общее уравнение прямой в виде (коэффициенты и для параллельных прямых можно взять одинаковыми), после подстановки в него координат точки получить значение .

б) В качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор прямой : . Каноническое уравнение прямой : . Отсюда : . ►

Общее уравнение прямой (1.3.7) можно переписать в виде или (положив , )

, (1.3.8)

Уравнение (1.3.8) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Оно определяет прямую, образующую угол с положительным направлением оси (рис. 1.22) и пересекающую ось в точке . Коэффициент называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение прямой можно также записать в виде

. (1.3.9)

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках и определяет прямую линию, пересекающую ось в точке и ось в точке (рис. 1.22).

Уравнение прямой, проходящей через две данные(несовпадающие) точки и , следует из канонического уравнения (1.3.5), если в качестве направляющего вектора прямой взять вектор и выбрать точку (или ):

или . (1.3.10)

Условием, при котором три точки плоскости , и лежат на одной прямой, является

.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и . Записать это уравнение в виде уравнения в отрезках и построить прямую.

◄ Используя (1.3.10), получаем уравнение искомой прямой: . Переписываем уравнение в форму уравнения в отрезках: . Из последнего уравнения имеем , . Прямая приведена на рис. 1.24. ►

Обозначив в каноническом уравнении (1.3.5) отношение через ( – переменный параметр), получаем параметрические уравнения прямой:

(1.3.11)

Под углом между двумя пересекающимися прямыми и понимается угол, на который нужно повернуть прямую вокруг точки пересечения прямых по часовой стрелке до первого пересечения с прямой (рис. 1.25). Этот угол (или смежный с ним ) равен углу между направляющими векторами и прямых (рис. 1.25), т.е. (с точностью до знака)

. (1.3.12)

Угол между прямыми можно найти также при помощи их нормальных векторов и :

. (1.3.13)

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом , , то угол между ними можно определить по формуле

. (1.3.14)

Из этой формулы следует, что прямые параллельны при и перпендикулярны при ( ).

Пример. Найти угол между прямыми : и : .

◄ Используем формулу (1.3.13). По уравнениям прямых находим их нормальные векторы: , . Согласно (1.3.13) будем иметь . Отсюда , (смежные углы).

Используем также формулу (1.3.14). Преобразовав уравнения прямых в форму с угловым коэффициентом: : , : , получаем угловые коэффициенты , . Подставив значения коэффициентов в (1.3.14), получаем . Отсюда или .

Получен целый набор значений угла . Значения , полученные по формуле (1.3.13), являются на самом деле значениями углов между нормальными векторами прямых и, учитывая неоднозначность выбора этих векторов, неоднозначно определяют угол между прямыми с точки зрения их взаимного расположения на плоскости. Поэтому формулами (1.3.12) и (1.3.13) пользуются тогда, когда взаимное расположение прямых не имеет значения. Однозначное значение угла между прямыми с учетом направления поворота прямой вокруг точки пересечения получают по формуле (1.3.14). Таким образом, угол между данными прямыми (угол соответствует повороту прямой к прямой против часовой стрелки). ►

Плоскость в пространстве

В пространстве каждая его точка (рис. 1.35) представляется тремя декартовыми координатами: абсциссой , ординатой и аппликатой (записывается ). Точка также может быть задана своим радиус-вектором

,

проведенным из начала координат в эту точку.

Расстояние между точками пространства и

;

координаты середины отрезка :

,

Уравнение вида

или (1.3.26)

связывающее координаты , и точек пространства, называется уравнением поверхности , если:

a)

координаты каждой точки поверхности удовлетворяют этому уравнению (рис. 1.36);

b) координаты любой точки, не лежащей на поверхности , неудовлетворяют этому уравнению.

Уравнение (1.3.26) в общем случае задает в пространстве некоторое точечное множество, которое может быть и не поверхностью в пространстве.

Пример. Уравнение есть уравнение радиуса с центром в точке с координатами ; уравнение не задает ни одной точки в пространстве (его решением является пустое множество).

Значения координат , , и , которые удовлетворяют системе уравнений двух поверхностей

определяют линию пересечения этих поверхностей. Если система не имеет решений, то поверхности не пересекаются.

Уравнение плоскости можно получить следующим образом. Пусть – любой вектор, перпендикулярный данной плоскости (нормальный вектор плоскости), а – точка, через которую плоскость проходит (рис. 1.37). Любой вектор , проведенный из точки в произвольную точку плоскости , будет перпендикулярен вектору и, следовательно, их скалярное произведение , т. е.

.(1.3.27)

Полученное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданному вектору . Оно первой степени относительно декартовых прямоугольных координат (линейно).

Уравнение (1.3.27) можно переписать в виде

или (1.3.28)

где . Это уравнение также линейно относительно координат и называется общим уравнением плоскости: при , и не равных нулю одновременно оно определяет плоскость с нормальным вектором . Обратно, каждую плоскость можно определить уравнением первой степени относительно декартовых прямоугольных координат вида (1.3.28).

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

◄ Так как искомая плоскость параллельна плоскости , для нее можно взять в качестве нормального вектора нормальный вектор плоскости : . Величину найдем из условия, что искомая плоскость проходит через точку , т. е. координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости: . Окончательно, искомое уравнение плоскости . ►

Особые случаи положения плоскости относительно системы координат, задаваемых общим уравнением (1.3.28):

1) плоскость , проходящая через начало координат;

2) плоскость параллельна оси (оси при , оси при );

3) плоскость параллельна координатной плоскости ( при , при );

4) – уравнение координатной плоскости ( – , – ).

Уравнение плоскости в зависимости от решаемой задачи может быть задано в различных формах.

Плоскость, пересекающая ось в точке , ось в точке и ось в точке (рис. 1.38) имеет уравнение (уравнение плоскости в отрезках)

. (1.3.29)

Пусть – расстояние плоскости от начала координат (длина перпендикуляра , опущенного из начала координат на плоскость) (рис. 1.39), , , – направляющие косинусы нормального вектора : , длина , т. к. . Тогда уравнение плоскости имеет вид (нормальное уравнение плоскости)

. (1.3.30)

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , , , не лежащие на одной прямой, имеет вид

. (1.3.31)

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и .

◄ Подставляя координаты данных точек в формулу (1.3.31), будем иметь

. Так как в полученном уравнении плоскости нет слагаемого с координатой , делаем вывод, что она параллельна оси . ►