Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка

Не существует общих приемов, позволяющих проинтегрировать произвольное дифференциальное уравнение высшего порядка. Однако в некоторых случаях порядок дифференциального уравнения может быть понижен и его решение может быть сведено к последовательному интегрированию нескольких дифференциальных уравнений первого порядка. Остановимся на этих случаях.

I. Решение уравнения вида Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru сводится к Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru кратному интегрированию. Общее решение такого уравнения имеет вид

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru .

Пример.Найти решение уравнения Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru , удовлетворяющее условиям

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru (2.3)

Решение. Последовательно интегрируя исходное уравнение, будем иметь

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

Значения постоянных Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru найдем из условий (2.3). Для отыскания Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru получим систему уравнений

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

Итак, искомое решение имеет вид Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

II. Уравнение не содержит Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru и его производных до порядка Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru включительно, то есть имеет вид Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru .

Для понижения порядка уравнения применяется подстановка Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . После применения этой подстановки уравнение приобретает вид Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Если удается найти общее решение последнего уравнения Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru , то после Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru -кратного интегрирования получим общее решение исходного уравнения.

Пример.Проинтегрировать уравнение Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru .

Решение.Уравнение не содержит Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru и его производных до третьего порядка включительно. Поэтому его порядок понижается путем введения замены Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru Относительно новой переменной уравнение имеет вид

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

Последовательно интегрируя последнее равенство четыре раза, получим

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

III.Уравнение не содержит явно переменной Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru , то есть имеет вид Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . В этом случае порядок уравнения понижается путем замены Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Последовательно получим

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru .

Приходим к уравнению Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru -го порядка

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

Если удалось найти общее решение последнего уравнения Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru , то для отыскания Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru будем иметь уравнение с разделяющимися переменными

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru .

Пример.Проинтегрировать уравнение Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru в области Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

Решение. Уравнение не содержит явно переменной Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Поэтому выполним замену Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru Уравнение примет вид Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Разделив обе части этого уравнения на Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru , получим Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru – уравнение Бернулли относительно Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Решение этого уравнения будем искать в виде произведения функций Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Подставляя в уравнение, будем иметь Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru В качестве функции Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru возьмем решение уравнения Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru Тогда для отыскания Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru получим:

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

Итак,

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

Найден общий интеграл уравнения.

IV. Уравнение однородное относительно Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru и его производных. Однородным называется уравнение , для которого выполнено

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru .

Порядок однородного уравнения понижается путем введения новой переменной по правилу Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Тогда получим

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru .

При этом исходное уравнение принимает вид

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru .

Пусть найдено его решение Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Для нахождения Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru получаем уравнение с разделяющимися переменными Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru , решение которого имеет вид Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Заметим, что решение Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru здесь не потеряно. Оно получается из последней формулы при Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru .

Пример.Проинтегрировать уравнение Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

Решение. Левая часть уравнения– однородная функция относительно Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru Выполним замену Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Тогда уравнение примет вид

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

Общее решение последнего уравнения (линейного относительно Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru ) имеет вид Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru Тогда Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru Решение Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru получается при Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

V. Уравнение имеет вид Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Иными словами, левая часть этого уравнения представляет собой полную производную по Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru от некоторой функции Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru . Интегрируя обе части такого уравнения по Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru , получим новое уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Пример.Проинтегрировать уравнение Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

Решение.Очевидным решением этого уравнения является функция Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru Разделив обе части уравнения на Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru , получим

Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru .

При Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru получаем Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru При Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru получаем линейное уравнение, общее решение которого имеет вид Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru .

Задание 7

Решить дифференциальные уравнения, используя методы понижения порядка. Найти общее или (если заданы начальные условия) частное решение.

1. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

2. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

3. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

4. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

5. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

6. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

7. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

8. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

9. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

10. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

11. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

12. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

13. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

14. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

15. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

16. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

17. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

18. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

19. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

20. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

21. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

22. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

23. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

24. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

25. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

26. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

27. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

28. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

29. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

30. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

31. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка - student2.ru

Наши рекомендации