Классификация уравнений математической физики (линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка)

Многие задачи механики, физики, технологии приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, называемых уравнениями математической физики.

Дифференциальные уравнения математической физики,которые мы будем изучать, – это линейные уравнения второго порядка. Как указано ранее уравнение называют линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, то есть если это уравнение может быть записано в виде уравнения (18.1)

Общепринята следующая классификация уравнения (18.1). Принадлежность уравнения к тому или иному типу определяется коэффициентами при старших производных.

Обозначим – дискриминант уравнения. В зависимости от знака функции Δ уравнение (18.1) относится в данной области к одному из следующих типов:

Δ < 0 – гиперболический тип;

Δ = 0 – параболический тип;

Δ > 0 – эллиптический тип;

Δ не сохраняет постоянного знака – смешанный тип.

Замечание. В уравнении (18.1) независимыми переменными являются координаты x и y. Во многих задачах одной из двух независимых переменных является время и уравнение (18.1) можно записать через x и t (см. табл. 1).

Пример.

В уравнении

B = C = 0; Δ = 0 – это уравнение параболического типа.

Пример.

В уравнении Лапласа

–

A = 1, B = 0, C = 1, Δ = AC – B² > 0 – это уравнение эллиптического типа.

Пример.

–

уравнение смешанного типа в любой области P, содержащей точки оси 0X. При y < 0 оно гиперболического типа, при y > 0 – эллиптического типа, при y = 0 – линии параболичности.

Пример.

Докажите самостоятельно, что уравнение

– гиперболического типа.

Краевые условия

Дифференциальные уравнения с частными производными имеют в общем случае бесчисленное множество решений. Поэтому, если физический процесс описывается с помощью уравнения с частными производными, то для однозначной характеристики этого процесса необходимы какие то дополнительные условия. Эти дополнительные данные состоят из краевых, то есть граничных и начальных условий.

Граничные условия заключаются в том, что указываются значения неизвестной функции u на концах промежутка изменения координаты (в задаче о линейной теплопроводности это концы стержня, в задачах о колебаниях струны – это концы струны и т.д.).

Условия, относящиеся к начальному моменту времени, называются начальными.

В каком же случае задаются какие краевые условия? Для того, чтобы лучше понять это, следует рассмотреть понятие стационарного и нестационарного процессов.

Нестационарными называются задачи, решение которых зависит не только от пространственных координат (x, y, z), но и от времени t. Эти задачи связаны с процессами, протекающими во времени. Например, это процессы распространения тепла, процессы диффузии, колебательные (волновые) процессы, процессы распространения электрических волн и ряд других.

Основными дифференциальными уравнениями математической физики, описывающими нестационарные процессы, являются уравнение теплопроводности

(18.2)

и волновое уравнение

(18.3)

Уравнение (18.2) является уравнением параболического типа, а уравнение (18.3) – гиперболического. Постановка задач для уравнений этих типов характеризуется наличием как граничных, так и начальных условий.

Начальные условия состоят в задании в момент времени t = 0 значений искомой функции u и ее производной (в гиперболическом случае) или только значений самой функции (в параболическом случае).

Таким образом, для уравнения теплопроводности ставится одно начальное условие (то есть условие при t = 0)

u =(0, x, y, z) = φ(x, y, z), (18.4)

а для волнового уравнения – два:

u =(0, x, y, z) = φ(x, y, z), (18.5)

(0, x, y, z) = ψ(x, y, z). (18.6)

В случае, если процесс протекает в неограниченной области (область называется неограниченной, если хотя бы одна из координат ее точек может быть сколь угодно большой, например бесконечный стержень, бесконечная струна и т.д.), то задаются лишь начальные условия (задача Коши).

В случае, если задача ставится для конечного интервала, то должны быть заданы и начальные и граничные условия. Тогда говорят о смешанной задаче.

Для описания стационарных процессов обычно используют уравнения эллиптического типа. Время t в эти уравнения не входит. Такими оказываются уравнения стационарного температурного поля, электростатического поля и т.д. Для задач такого типа ставятся только граничные условия, то есть указывается поведение неизвестной функции на контуре области (см.таблицу 1).

В рассматриваемых нами задачах математической физики именно физические соображения подсказывают, какие дополнительные условия следует поставить в той или иной задаче, чтобы получить единственное ее решение, отвечающее характеру изучаемого процесса.

Таблица 1

Важнейшие линейные дифференциальные уравнения математической физики

Тип	Физический смысл	Одномерное уравнение	Многомерное уравнение	Дополнительные (краевые) условия
Гиперболический	Волны (струны, мембраны, течение жидкости) затухающие волны			Граничные условия; начальные условия для u и
Параболи- ческий	Уравнения теплопроводности, диффузии			Граничные условия; начальное условие для u
Эллиптический	Статический случай			Только граничные условия

– оператор Лапласа.

Например в декартовых координатах