Методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений

Приведенные выше методы построения формул численного интегрирования одного дифференциального уравнения без всяких изменений переносятся на случай систем уравнений и уравнений высокого порядка.

Для уравнений высокого порядка необходимо перейти к нормальной форме Коши

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

и все рассмотренные выше операции выполняются над векторами.

Например, схема Эйлера выглядит следующим образом:

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

или для элементов вектора методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru в виде

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru .

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка будет давать следующую вычислительную схему:

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

где

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru .

Для элементов вектора методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru соответственно имеем

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

где

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru .

Вычислительные схемы, основанные на формулах Адамса, строятся аналогичным образом.

Основная проблема при решении уравнений высокого порядка – это переход к нормальной форме Коши. Если правая часть уравнения является укороченной, т.е. имеет место уравнение вида

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

то переход к нормальной форме является простым – вводятся новые переменные:

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru

В этом случае нормальная форма Коши записи дифференциального уравнения будет выглядеть следующим образом:

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru

Если правая часть не является укороченной, то есть имеет место уравнение вида:

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

то нормальная (каноническая) форма Коши будет иметь следующий вид:

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru (8.25)

где

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru , методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru .

Как видим, для приведения уравнения методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru -го порядка с переменными коэффициентами к канонической форме уравнений первого порядка необходимо, чтобы существовали производные от коэффициентов этого уравнения до методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru -го порядка включительно.

Аналогичная процедура выполняется и для нелинейных уравнений.

Рассмотрим нелинейное уравнение второго порядка

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

где

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ­– произвольная нелинейная функция.

Перейдем к нормальной форме Коши. Система уравнений в данном, частном случае, будет следующей

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru

Функции методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru , методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru , методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru вычисляются согласно приведенным выше формулам, а именно:

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru .

Формула (8.25) в векторно-матричном виде выглядит следующим образом

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru , (8.26)

где

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru , (8.27)

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru , методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru .

Рассмотрим реализацию неявного метода Адамса на примере формулы (8.24) для системы линейных уравнений (8.26).

Формула Адамса (8.24) для системы уравнений будет иметь вид

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru .

Подставляя в нее правые части уравнения (8.26), записанные в форме (8.27), будем иметь

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru .

Преобразуем данное уравнение относительно переменной методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru :

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru (8.28)

Если ввести обозначения

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru ,

выражение (8.28) приобретает вид

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru . (8.29)

Уравнение (8.29) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно искомого решения методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru . Решение последнего находится в виде

методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru .

Как видим, при реализации неявных методов, построенных по схеме Адамса, на каждом шаге интегрирования приходится решать систему линейных алгебраических уравнений.

Для повышения сходимости вычислительных схем рекомендуется использовать малый шаг интегрирования методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений - student2.ru .

[1] «В среднем» здесь понимается в вероятностном смысле.

[2] Имеется более общее определение числа обусловленности:

Здесь задается через векторные нормы и может быть применено к вырожденным матрицам . В случае обратимых матриц при использовании согласованных матричных норм отсюда получается .

* от англ. Successive over relaxation

* В зарубежной литературе используется аббревиатура ADI- Alternating Direction Implicite

* Полагая ,видим, что, в силу 2.3 и 2.1, .

* Через здесь обозначается спектральный радиус указанной вскобках матрицы

* Здесь и далее под дифференцируемостью понимается дифференцируемость по Фреше (см. приложение 1).

** т.е. на множестве точек таких, что .

Наши рекомендации